После изучения материала по данной теме вы должны знать ответы на следующие вопросы

Решения прислать не позднее 28 марта до 14-00.

Теория по теме

«Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии»

 

Рассмотрим последовательности:

а) 2; 4; 8; 16; 32; 64; …
Как взаимосвязаны между собой члены этой последовательности?
– Каждый последующий член последовательности равен предыдущему члену, умноженному на 2.

 

б) 2; 6; 18; 54; 162…
Как взаимосвязаны между собой члены этой последовательности?
– Каждый последующий член последовательности равен предыдущему члену, умноженному на 3.

 

в) – 10; 100; – 1000; 10000; – 100000…

– Как взаимосвязаны между собой члены этой последовательности?
– Каждый последующий член последовательности равен предыдущему члену, умноженному на – 10.

 

Рассмотренные последовательности называются геометрическими прогрессиями.

Последовательность ( в_n ), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q, называется геометрической прогрессией.

Если последовательность (в_n) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость: в_n+1 = в_n ⋅ q.

 

Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.    

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно второй, третий и вообще любой её член:

в₂ = в₁ ∙ q
в₃ = в₂ ∙ q = (в₁ ∙ q) ∙ q = в₁ ∙ q²

в₄ = в₃ ∙ q = (в₁ ∙ q²) ∙ q = в₁ ∙ q³

в₅ = в₄ ∙ q = (в₁ ∙ q³) ∙ q = в₁ ∙ q⁴
…

в_n = в₁ ∙ q^{n - 1}

 

Мы получили формулу n-ого члена геометрической прогрессии: в_n = в₁ ∙ q^{n – 1}

 

 

Рассмотрим примеры решения некоторых задач с использованием этой формулы.

Пример 1.

 

Дано:                                               Решение:

(в_n) – геом. пр.                            По формуле n-го члена геометрической прогрессии

b₁=12,8                                         в₇ = в₁ ∙ q⁶

q=                                               в₇ = 12,8 ∙ =                                             

Найти: в₇

                  Ответ: в₇ =

Пример 2.

Дано:                                                  Решение:

(в_n) – геом. пр.               Геометрическая прогрессия задана последовательностью своих членов,

(в_n): 2; - 6; …          поэтому в₁ = 2 в₂ = - 6            

                                  Зная первый и второй члены геометрической прогрессии, можно найти её  

Найти: в₅              знаменатель.

                                             q = в₂: в₁

                                             q = - 6: 2 = - 3

                                   По формуле n-го члена геометрической прогрессии

                                                           в₅ = в₁ ∙ q⁴

                                                         в₅ = 2 ∙ (- 3)⁴ = 2 ∙ 81 = 162

                  Ответ: в₅ = 162

Пример 3.

Дано:                                               Решение:

(в_n) – геом. пр.           По формуле n-го члена геометрической прогрессии

в₃ = 12                          в₃ = в₁ ∙ q²     

в₅ = 48                           в₅ = в₁ ∙ q⁴

Найти: q и в₁          Так как в этих равенствах в₁ и q одинаковые числа, то подставив значения в₃ и в₅, 

                                      можно составить систему двух уравнений:

                                              в₁ ∙ q² = 12

                                              в₁ ∙ q⁴ = 48

                                    Поделим левую часть первого уравнения на левую часть второго уравнения, правую часть на правую, получим:

                                              =

                                    После сокращения дробей получится:

                                             

                                            q² = 4

                                            q = 2 или q = - 2

1) Если q = 2, то    в₁ ∙ 2² = 12

                           в₁ ∙ 4 = 12

                           в₁ = 12: 4

                           в₁ = 3

2) Если q = - 2, то в₁ ∙ (- 2)² = 12

                           в₁ ∙ 4 = 12

                           в₁ = 12: 4

                           в₁ = 3

                                                      

 Ответ: q = 2, q = - 2, в₁ = 3

После изучения материала по данной теме вы должны знать ответы на следующие вопросы:

 

1. Сформулируйте определение геометрической прогрессии.

2. Сформулируйте определение знаменателя геометрической прогрессии.

3. Назовите формулы n-го члена геометрической прогрессий.

 

Задания для самостоятельной отработки знаний по данному материалу:

 

Стр. 161 п.27 №625, 627, 630, 631, 636, 634