Решить задачи 256, 258

Геометрия

Дата: 09.04.2020 г.

Тема: Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Теорема 1

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Доказательство:

Читаем в учебнике на стр. 75.

Теорема 2

Катет прямоугольного треугольника, лежащий простив угла в 30°, равен половине

гипотенузы.

Доказательство:

Читаем в учебнике на стр. 75.

Теорема 3

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Доказательство:

Читаем в учебнике на стр. 76.

Задача 257.

(рис. 1)

Дано: ∆АВС, ∠ С = 90°, ∠ ВАD = 120°, AC + AB = 18 см (рис. 1)

Найти: АС, AB.

Решение: ∠ САB + ∠ BAD = 180°, ∠ BAD = 120°, тогда  

∆ABC – прямоугольный (∠ С = 90°), значит, ∠ BAC + ∠ B = 90 , а так как ∠ BAC = 60 , то ∠ B = 30 .

Катет AC лежит против угла 30° и он равен половине гипотенузы, т. е. АС =  Так как   AC + AB = 18 см, то , отсюда AB = 12 cм, АС = 6 см.

(Ответ: AB = 12 см, AC = 6 см)

Задача 259.

(рис. 2)

Решение: ∆ABC – равнобедренный, т. е. ∠ А = ∠ BCA = (180° – 120°): 2 = 30°. ∆ACH – прямоугольный, в нем ∠ А = 30°, а HC – катет, лежащий против угла в 30°, значит,     АС = 2 HC = 18 см.(рис 2.).

(Ответ: 18 см)

 

Задача 260.

(рис. 3)

Решение: ∆ABD – прямоугольный, BD = , тогда ∠ А = 30° (рис. 3).

∆ABC – равнобедренный, тогда ∠С = ∠А = 30°, ∠АBC = 120°.

(Ответ: 30°, 30°, 120°)

 

Дополнительные задачи

Задача 1

Найдите углы прямоугольного треугольника, если угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины прямого угла, равен 15°.

(рис. 4)

Решение: CD –  биссектриса, CH – высота, ∠ DCH =15°, ∠ DCA =45°, тогда ∠ HCA =30° (рис 4).

∆HCA — прямоугольный, в нем ∠A=60°, тогда ∠ B= 30°.

(Ответ: 30°, 60°, 90°.)

Задача 2

В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°, а основание равно 4 см. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне.

(рис. 5)

Решение: 120° –  угол при вершине равнобедренного треугольника, тогда ∠A=∠C=30°. AH – высота ∆ABC, тогда ∆AHC - прямоугольный, в нем ∠ C =30°, значит, AH =  AC =2 см (рис. 5)

(Ответ: 2 см.)

 

 

Задача 3

Высота, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, делит пополам угол между основанием и биссектрисой. Найдите углы равнобедренного треугольника.

(рис. 6)

Решение: AD – биссектриса ∠ BAC, AH – высота ∆ABC, ∠ DAH =∠ CAH (рис. 6)

Так как AD – биссектриса ∠ BAC, то ∠ BAD =∠ DAC, но ∠ DAC =∠ DAH +∠ CAH, причем ∠ DAH =∠ CAH, тогда ∠ CAH = ∠ BAC.

∆ABC – равнобедренный, поэтому ∠ BAC =∠ BCA, значит, ∠ CAH = ∠ BCA.

∆ACH – прямоугольный, значит, ∠ CAH +∠ HCA =90°, тогда ∠ HCA +∠ HCA =90°, ∠ HCA =72°, следовательно, ∠ BCA =∠ BAC =72°, ∠ ABC =36°.

(Ответ: 72°, 72°, 36°).

Домашнее задание

1. § 35, вопрос 10, 11.

Решить задачи 256, 258.