Основные понятия и определения

1 2 3 4 5 6 7

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ

ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

СОДЕРЖАНИЕ

Введение...................................................................................................... 6

РАЗДЕЛ I. СТАТИКА

1 Основные понятия и определения........................................................ 7

Аксиомы статики................................................................................ 8

Свободное и несвободное тело. Реакция связи............................... 10

Основные виды связей без трения................................................... 11

Распределенные силы...................................................................... 13

2 Система сходящихся сил...................................................................... 14

Теорема о равновесии трех непараллельных сил.......................... 15

Проекция силы на ось...................................................................... 15

Аналитическое определение равнодействующей сходящейся

системы сил............................................................................................ 16

3 Момент силы относительно центра, точки и оси............................. 17

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей....................... 19

Уравнение линии действия равнодействующей плоской

системы сил............................................................................................ 20

4 Теория пар сил...................................................................................... 22

Сложение двух параллельных сил.................................................. 22

Пара сил. Момент пары сил............................................................ 23

Свойства пар.................................................................................... 24

Сложение пар, лежащих в пересекающихся плоскостях............... 24

5 Приведение системы сил к данному центру (точке)......................... 26

Теорема Пуансо о параллельном переносе силы........................... 26

Приведение системы сил к данному центру................................... 26

6 Аналитические условия равновесия систем сил............................... 32

7 Ферма...................................................................................................... 36

Леммы о нулевых стержнях............................................................ 37

8 Статически определимые и неопределимые задачи. Составные

конструкции. Рычаг................................................................................ 38

Статически определимые и статически не определимые задачи.... 38

Определение реакций опор составных конструкций..................... 39

Рычаг. Устойчивость при опрокидывании..................................... 40

9 Трение..................................................................................................... 42

Трение скольжения. Сцепление....................................................... 42

Угол и конус трения......................................................................... 43

Трение качения................................................................................. 43

10 Центр тяжести. Координаты центра тяжести.................................. 45

Центр параллельных сил............................................................... 45

Центр тяжести твердого тела......................................................... 46

Центр тяжести плоской фигуры..................................................... 47

Центр тяжести линии...................................................................... 47

Методы определения центра тяжести............................................ 48

РАЗДЕЛ II. КИНЕМАТИКА

1 Способы задания движения точки...................................................... 53

Векторный способ задания движения............................................. 53

Координатный способ задания движения....................................... 55

Естественный способ задания движения......................................... 59

Взаимосвязь естественного и координатного способов................. 64

2 Простейшие движения твердого тела................................................. 66

Поступательное движение твердого тела........................................ 66

Вращательное движение твердого тела.......................................... 68

3 Плоскопараллельное движение тела.................................................. 70

Различные случаи определения положения МЦС.......................... 73

Теорема об ускорениях точек плоской фигуры.............................. 74

Мгновенный центр ускорений......................................................... 75

4 Сложное движение точки..................................................................... 76

Относительное, переносное и абсолютное движения точки........... 76

Теорема о сложении скоростей........................................................ 77

Теорема о сложении ускорений....................................................... 79

РАЗДЕЛ III. ДИНАМИКА

1 Законы динамики материальной точки............................................ 83

Закон инерции (Закон Галилея-Ньютона)....................................... 83

Закон пропорциональности силы и ускорения............................... 83

Закон равенства действия и противодействия................................. 84

Закон независимости действия сил.................................................. 85

2 Дифференциальные уравнения движения. Основные задачи динамики 85

Первая (прямая) задача динамики.................................................. 86

Вторая (обратная) задача динамики............................................... 87

Интегрирование дифференциальных уравнений прямолинейного движения................................................................................................. 88

3 Колебательное движение материальной точки................................ 89

Гармонические колебания................................................................ 89

4 Дифференциальное уравнение относительного движения

материальной точки................................................................................ 92

Частные случаи относительного движения материальной точки... 93

5 Динамика механической системы....................................................... 95

Классификация сил, действующих на материальные точки

механической системы........................................................................... 95

Дифференциальные уравнения движения механической системы... 96 5.3 Центр масс механической системы........................................................ 97

Осевые моменты инерции твердого тела......................................... 97

Моменты инерции некоторых однородных тел.............................. 99

6 Общие теоремы динамики................................................................. 101

Теорема о движении центра масс механической системы............ 101

Теорема об изменении количества движения................................ 102

Теорема об изменении момента количества движения................. 104

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела 105

7 Теорема об изменении кинетической энергии................................. 106

Работа и мощность сил.................................................................. 106

Теорема об изменении кинетической энергии............................... 111

8 Принцип д’Аламбера (принцип кинетостатики)............................ 113

9 Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)............. 115

Классификация связей.................................................................... 115

Возможные перемещения. Принцип Лагранжа............................ 116

10 Общее уравнение динамики (Принцип д’Аламбера-Лагранжа). 117

Литература.............................................................................................. 118

ВВЕДЕНИЕ

Теоретическая механика – наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Под движением в механике понимается изменение положения твердого тела в пространстве и во времени, относительно других тел.

Пространство в классической механике рассматривается как абсолютное, трехмерное, в котором все построения базируются на геометрии Евклида.

Время в классической механике так же абсолютно.

Тела, относительно которых мы рассматриваем движение данного тела, называются телами отсчета. Тело отсчета со скрепленными с ним осями координат называется системой отсчета.

Система отсчета, которая находится в покое или движется прямолинейно и равномерно, называется инерциальной.

Абсолютно твердое тело – тело, в котором расстояния между любыми точками остается неизменным при взаимодействии с другими телами.

На основе законов механики базируются дисциплины: сопротивление материалов, строительная механика, инженерные конструкции и т.д.

Механика состоит из трех основных разделов:

– статика;

– кинематика;

– динамика.

РАЗДЕЛ I. СТАТИКА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Статика – раздел механики, изучающий условия равновесия материальных тел или систем тел, под действием приложенных к ним сил.

Покой (равновесие) – состояние тела, при котором его положение относительно инерциальной системы отсчета остается неизменным.

Одним из основных понятий в теоретической механике является понятие силы.

Рисунок 1.1

Сила – векторная величина, являющаяся мерой механического взаимодействия материальных тел.

Геометрически сила изображается вектором (рисунок 1.1), который характеризуется:

1) числовым значением (модулем);

2) направлением;

3) линией действия, которая пролегает вдоль вектора силы в оба направления.

Совокупность нескольких сил, действующих на данное тело, называется системой сил.

Если одну систему сил можно заменить другой, и при этом тело не изменит своего кинематического состояния, то эти системы считаются эквивалентными.

Уравновешенными системами сил называются системы сил, которые будучи приложенными к покоящемуся телу не изменят его кинематического состояния, т.е. эквивалентные нулю.

Силы, действующие на данное тело со стороны других тел, называются внешними.

Силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга, называются внутренними.

Основной задачей статики является исследование условий равновесия внешних сил, приложенных к абсолютно твердому телу.

Аксиомы статики

1. Аксиома инерции. Под действием взаимно уравновешенных сил тело находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно.

2. Аксиома равновесия двух сил (рисунок 1.2). Две силы, приложенные к твердому телу, уравновешенны только в том случае, если они равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные

Рисунок 1.2

стороны:

Р 2 =

Р 1,

Р 2 = - Р 1.

Аксиома присоединения и исключения уравновешенных сил (рисунок 1.3). Кинематиче- ское состояние тела не изменяется, если к нему присоединить или отбросить уравновешенную

систему сил (Р 3 , Р 4 ,..., Рn ).

Рисунок 1.3

Если (Р 1, Р 2 ) эквивалентна нулю, то система

сил (Р 1, Р 2 , Р 3 , Р 4 ,..., Рn ) эквивалентна (Р 3 , Р 4 ,..., Рn ).

Рисунок 1.4

Следствие. Не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела, силу можно переносить вдоль ее линии действия, сохраняя неизменными ее модуль и направление.

Доказательство (рисунок 1.4). К телу, на которое в точке A

действует сила

Р 1, прикладываем в точке B уравновешенную систему сил

(Р 2 , Р 3 ), направленных вдоль линии действия силы

Р 1, причем

Р 1 = - Р 2,

Р 1 = Р 2

= Р 3

. Согласно третьей аксиоме, кинематическое состояние тела

не изменилось. Теперь рассмотрим получившуюся систему сил (Р 1, Р 2 ). По условию они равны по модулю, направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, т.е. эта система эквивалентна 0. Поскольку они уравновешены, то по третьей аксиоме эту систему сил можно

отбросить и тогда, тело окажется под действием одной силы

Р 3,

приложенной в точке В. Так как

Р 1 = Р 3, то, фактически, мы перенесли

силу

Р 1 вдоль линии ее действия в точку В.

Рисунок 1.5

4. Аксиома параллелограмма сил (рису- нок 1.5). Две силы, приложенные под углом, эквивалентны одной силе (равнодействующей), которая приложена в точке их пересечения и

изображается диагональю параллелограмма, по-

строенного на этих силах, как на сторонах. Сила P эквивалентна (Р 1, Р 2 ):

P = P 1 + P 2 ;

P = .

Рисунок 1.6

5. Аксиома равенства действия и противодействия (рисунок 1.6). Всякому дейст- вию соответствует равное и противоположно направленное противодействие:

Р 1 = - Р 2.

Силы

Р 1 и

Р 2 не уравновешены, так как приложены к разным телам.

6. Аксиома затвердевания. Равновесие сил, приложенных к деформирующемуся телу, сохраняется при его затвердевании. (Не имеет обратного действия).