Математические модели систем

Лекция 4. Компъютерное моделирование

ВВЕДЕНИЕ

С точки зрения философии моделирование представляет собой один из методов познания мира. Под моделью следует понимать любое мысленное, формальное, физическое или какое-либо другое представление объекта окружающего мира, обеспечивающее изучение некоторых свойств данного объекта. Необходимо отметить, что в общем смысле модель является также объектом. Этот объект замещает объект-оригинал и создается с целью исследования объекта-оригинала. В свою очередь, моделирование - это процесс создания модели.

Моделирование – создание искусственного (мысленного, физического, цифрового) объекта, отображающего основные свойства оригинала, с целью фиксации или изучения свойств оригинала путем исследования свойств модели.

Модель – представление объекта, системы или понятия (идеи) в некоторой форме, отличной от формы их реального существования.

Польза от моделирования может быть достигнута только при соблюдении следующих достаточно очевидных условий:

- модель адекватно отображает свойства оригинала, существенных с точки зрения цели исследования;

- модель позволяет устранять проблемы, присущие проведению измерений на реальных объектах;

- затраты ресурсов на создание модели и анализа ее работы значительно меньше, чем затраты на исследование реальной системы.

Под системой понимают группу или совокупность объектов, объединенных какой-либо формой регулярного взаимодействия или взаимозависимости с целью выполнения определенной функции [9]. В экономической деятельности с помощью методов моделирования решаются в основном вопросы исследования функциональных характеристик систем, их взаимодействия между собой, а также прогнозирования результатов функционирования систем.

В настоящее время при анализе и синтезе больших систем получил развитие системный подход, который отличается от классического (индуктивного) подхода. Последний рассматривает систему путем перехода от частного к общему и синтезирует (конструирует) систему путем слияния ее компонент, разрабатываемых раздельно. Системный подход предполагает последовательный переход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цель, причем исследуемый объект выделяется из окружающей среды. Важным для системного подхода является определение структуры системы – совокупности связей между элементами системы, отражающих их взаимодействие. Имитационное моделирование является мощным инструментом структурного анализа сложных систем в тех случаях, когда исследование такой системы обычными аналитическими методами не представляется возможным или требует значительных материальных и интеллектуальных затрат. Моделирование позволяет исследовать ситуации, когда элементы и связи системы невозможно свести к каноническим случаям, например, когда потоки событий не являются простейшими, в системе существует множество обратных связей или характеристики элементов системы не являются стабильными.

Изучение методики имитационного моделирования расширяет возможности анализа сложных систем, прививает навыки статистической обработки результатов стохастических процессов, дает опыт структурного подхода с необходимой степенью детализации систем.

Аналитические методы моделирования

Необходимость изучения количественных и качественных изменений исследуемых систем обусловило разработку и применение мощного математического аппарата для целей моделирования. На основе математического аппарата был создан целый класс методов моделирования, называемых аналитическими [10]. Аналитические методы позволяют получить характеристики системы как некоторые функции параметров ее функционирования. Таким образом, аналитическая модель представляет собой систему уравнений, при решении которой получают параметры, необходимые для оценки системы (время ответа, пропускную способность и т.д.). Использование аналитических методов дает достаточно точную оценку, которая, зачастую, хорошо соответствует действительности.

Смена состояний реальной системы происходит под воздействием множества как внешних, так и внутренних факторов, подавляющее большинство из которых носят стохастический характер. Вследствие этого, а также большой сложности большинства реальных систем, основным недостатком аналитических методов является то, что при выводе формул, на которых они основываются и которые используются для расчета интересующих параметров, необходимо принять определенные допущения. Тем не менее, нередко оказывается, что эти допущения вполне оправданы.

В тех случаях, когда требуется высокая степень детализации модели, учет множества факторов, в том числе случайных, это приводит к значительному усложнению математической модели. Аналитические решения, как правило, можно получить только для некоторых идеальных условий. В остальных случаях приходится довольствоваться только численными решениями, которые не могут, вообще говоря, описать общие законы функционирования системы в широком диапазоне условий. К тому же анализ модели высокой сложности требует зачастую не меньших компьютерных ресурсов, чем имитационные модели.

Наконец, любая аналитическая модель трудно соотносится с реальным объектом.

Математические модели систем

Важным этапом моделирования является создание математической модели исследуемой системы. На базе математической модели происходит анализ характеристик системы, при компьютерном моделирования на основе математической модели создается алгоритм программ для получения информации о поведении системы. Формальное описание объекта исследование необходимо также для взаимопонимания между специалистами разных областей, объединенных для решения какой-либо глобальной задачи.

При построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный, дискретно-детерминированный, дискретно-стохастический, непрерывно-стохастический, сетевой, обобщенный (или универсальный). Соответственно этим подходам были разработаны типовые математические схемы создания моделей [10].

1. Непрерывно-детерминированный подход использует в качестве математических моделей системы дифференциальных уравнений

Созданные на основе этого подхода математические модели исследуются, как правило, аналитическими способами. Возможным приложением данного подхода является анализ систем автоматического управления непрерывными процессами, например, система поддержания стабильной температуры в помещении.

Задачей системы автоматического управления является изменение выходных сигналов согласно заданному закону с определенной точностью (с допустимой ошибкой).

2. Дискретно-детерминированный подход реализуется с помощью математического аппарата теории автоматов. Система представляется в виде автомата, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. Математической моделью при этом подходе является конечный автомат, характеризующийся конечным множеством X входных сигналов, конечным множеством Y выходных сигналов, конечным множеством Z внутренних состояний, начальным состоянием Z₀; функцией переходов g(z,x); функцией выходов v(z,x). Автомат функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты (примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния).

Подобный подход используется для описания таких объектов как элементы и узлы ЭВМ, устройства контроля регулирования, и управления, коммутационные устройства (например, телефонные станции).

3. Дискретно-стохастический подход использует в качестве математического аппарата вероятностные автоматы, которые можно определить как дискретные потактные преобразователи информации с памятью, функционирование, которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически. Для такого автомата характерно задание таблицы вероятностей перехода автомата в некоторое состояние и появления некоторого выходного сигнала в зависимости от текущего состояния и входного сигнала.

Исследование автомата может проводиться как аналитическими, так и имитационными (например, методом статистического моделирования) методами. Этот подход применим для изучения эксплуатационных характеристик производственных объектов (например, надежности, ремонтопригодности, отказоустойчивости и т.п.).

4. Непрерывно-стохастический подход применяется для формализации процессов обслуживания. Этот подход наиболее известен ввиду того, что большинство экономических (и не только экономических, – производственных технических и т.д.) систем по своей сути являются системами массового обслуживания. В обслуживании можно выделить две элементарные составляющие: ожидание обслуживания и собственно обслуживание, а в любой системе массового обслуживания можно выделить элементарный прибор. Соответственно в этом приборе выделяют накопитель заявок, ожидающих обслуживания (очередь); канал(ы) обслуживания; потоки событий (последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени); поток заявок на обслуживание, характеризующийся моментами времени поступления и атрибутами (признаками) заявок (например, приоритетами), и поток обслуживания, характеризующийся моментами начала и окончания обслуживания заявок.

Различают потоки однородных и неоднородных событий. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий и задается последовательностью

{t_n }={0<= t₁<= t₂... <= t_n <=...}, где t_n - момент наступления n -го события.

Потоком неоднородных событий называется последовательность событий, которые обладают индивидуальными признаками (приоритетом, принадлежностью к какому-либо источнику и т.д.)

Рассмотрим поток, в котором события разделены интервалами времени, которые являются случайными величинами. Пусть интервалы независимы между собой. Тогда поток событий называется потоком с ограниченным последействием.

Поток событий называется ординарным, если вероятность того, что на малый интервал времени, примыкающий к моменту времени t, попадает больше одного события P_>1(t,t +Δt) пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью того, что на этот же интервал времени попадает ровно одно событие P₁(t,t +Δt). Для любого интервала верно следующее:

P₀(t,t +Δt) + P₁(t,t +Δt) + P_>1(t,t +Δt) = 1

Как сумма вероятностей событий, образующих полную группу и несовместных. Тогда для ординарного потока событий справедливо следующее:

P₀(t,t +Δt) + P₁(t,t +Δt) =1, P_>1(t,t +Δt) = 0

Стационарным потоком событий называется поток, для которого вероятность появления того или иного числа событий на интервале времени зависит лишь от длины этого интервала и не зависит от того, где на оси времени взят этот интервал.

Рассмотрим на оси времени ординарный поток событий и найдем среднее число событий, наступающих на интервале времени Δt:

0·P₀(t,t +Δt) +1·P₁(t,t +Δt) = P₁(t,t +Δt)

Тогда среднее число событий ординарного потока в единицу времени (интенсивность потока):

 λ = λ(t)

Для стационарного потока интенсивность постоянна.

Процесс функционирования устройства обслуживания можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени z(t). Переход в новое состояние для устройства означает изменение количества заявок, которые в нем находятся. Если каналы различных устройств обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальное Q-схема), а если устройства и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q-схема). В зависимости от емкости накопителя разделяют системы с потерями (емкость накопителя равна нулю), системы с ожиданием (емкость накопителя неограниченна) и системы смешанного типа (емкость накопителя ограничена).

Неоднородность заявок, отражающая процесс в той или иной реальной системе, учитывается с помощью введения классов приоритетов. Различают статические и динамические приоритеты. Статические приоритеты назначаются заранее и не зависят от состояний Q-схемы. Динамические приоритеты возникают при моделировании в зависимости от возникающих ситуаций. Исходя из правил выбора заявок из накопителя на обслуживание каналом, можно выделить относительные и абсолютные приоритеты. Относительный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель, ожидает окончания обслуживания предшествующей заявки каналом и только после этого занимает канал. Абсолютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель, прерывает обслуживание каналом заявки с более низким приоритетом и сама занимает канал.

При рассмотрении алгоритмов функционирования устройств обслуживания необходимо задать также набор правил, по которым заявки покидают накопители и каналы, например: блокировки по входу и выходу, маршрутизация заявок.

Аналитически модели систем массового обслуживания исследуются с помощью систем дифференциальных уравнений. Переменными в этих уравнениях являются вероятности переходов между состояниями (состояния, в свою очередь, определяются количеством и местонахождением заявок в системе).