Формула сочетаний с повторениями

Сочетания с повторениями образуются так. Имеются объекты  различных типов (классов). Выбираем  предметов, взяв  предметов первого типа,  предметов второго типа и т.д. так, что . Значения  могут меняться (от 0 до ), порождая различные наборы. Чтобы подсчитать их число, представим отдельный такой набор в виде ячейки из  клеток, в которой единицы показывают клетки, занятые объектами различных классов (  штук), а нули — границы между классами или отсутствующие классы (  штука):

Различные комбинации будут различаться только положением нулей в ячейке. Т.е. изменение состава выборки связано с различным выбором  мест из  мест для нулей. Это число равно числу сочетаний из  по . Таким образом, число сочетаний с повторениями из  по , обозначаемое  равно

                                 .

 Пример. Почетный караул составляется из военнослужащих 5 родов войск и состоит из 12 человек. Сколькими различными способами можно составить команду для почетного караула? В данном случае  = 12,  = 5 и число возможных способов равно

                                        .

Формула перестановок с повторениями

Перестановки с повторениями получаются в следующем случае. Имеется  объектов первого вида,  — объектов второго вида и т.д., причем, . Если эти объекты выстроим в ряд и будем переставлять, то перестановки, в которых элементы одного вида будем менять местами, не будут отличаться друг от друга. С учетом этого, число перестановок с повторениями:

                                         .

Пример. Сколько различных комбинаций букв можно получить при перестановке букв в слове “математика”? Всего 10 букв: 2 буквы м, 3 буквы а, 2 буквы т, по одной е, и, к. Значит, число комбинаций равно

                                 .