В аналитической геометрии на плоскости одна из основных задач состоит в приведении общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду путём перехода к соответствующей системе координат. Теория квадратичных форм имеет своей целью решение аналогичных задач в пространстве любого числа измерений.
Определение. Числовая функция одного векторного аргумента , полученная из симметричной билинейной формы заменой на , называется квадратичной формой.
Например, скалярный квадрат есть квадратичная форма.
Симметричная билинейная форма называется полярной к квадратичной форме .
В вещественном евклидовом пространстве скалярное произведение есть билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме .
В вещественном линейном пространстве с фиксированным базисом квадратичная форма имеет вид
, (1)
где - координаты вектора в базисе , - значения формы на базисных векторах. Числа образуют матрицу квадратичной формы в базисе : , эта матрица симметрична, т.е. . При изменении базиса матрица квадратичной формы изменяется так же, как матрица соответствующей симметричной билинейной формы, т.е. по закону
.
Значит, ранг матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса. Поэтому можно ввести понятие ранга квадратичной формы как ранга ее матрицы в любом базисе. Квадратичная форма, ранг которой совпадает с размерностью пространства, называется невырожденной.
В дальнейшем будем использовать следующую терминологию.
Квадратичная форма называется
1) положительно (отрицательно) определённой, если для выполняется неравенство
,
при этом (такие формы называются знакоопределёнными);
2) знакопеременной, если существуют такие , что
;
3) квазизнакоопределённой, если для
или ,
но , для которого .
Примеры. 1) Рассмотрим в пространстве квадратичную форму . Очевидно, она является положительно определённой.
2) Квадратичная форма отрицательно определена.
3) Квадратичная форма знакопеременна. Действительно, , для которого , и , для которого .
4) Квадратичная форма является квазиположительно определённой: , но существует ненулевой вектор , например, , для которого .
В дальнейшем будут сформулированы признаки, по которым можно судить о принадлежности квадратичной формы к одному из указанных типов. Укажем также методы выбора такого базиса , в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид
,
т.е. сама форма приводится к сумме квадратов
. (2)
Выражение (2) называется каноническим видом квадратичной формы , коэффициенты - каноническими коэффициентами. Базис, в котором квадратичная форма имеет вид (2), называется каноническим.
Так как ранг квадратичной формы инвариантен относительно изменения базиса, то он равен количеству отличных от нуля канонических коэффициентов. Оставляя в представлении (2) лишь отличные от нуля коэффициенты и при необходимости перенумеровывая их, получим где - ранг квадратичной формы, называемый также её индексом инерции.