2020-05-12
3254
Метод Якоби.
Метод Якоби позволяет не только указать явные формулы перехода от заданного базиса к каноническому, но и получить формулы для канонических коэффициентов 
. Однако для этого квадратичная форма 
должна удовлетворять некоторым условиям.
Теорема (Якоби). Пусть в базисе 
квадратичная форма (1) имеет вид
где 
И пусть определители (угловые миноры матрицы квадратичной формы)
отличны от нуля. Тогда существует канонический базис 
, в котором квадратичная форма записывается в виде суммы квадратов:
.
Здесь 
- координаты вектора 
в базисе , а канонические коэффициенты 
определяются формулами
= 
, 
Доказательство. Наша цель – определить базисные векторы 
так, чтобы элементы матрицы 
, расположенные вне главной диагонали, равнялись нулю
при 
, (7)
. (8)
Процесс, с помощью которого это будет сделано, аналогичен процессу ортогонализации (п. 32). Будем искать векторы канонического базиса в виде
(9)
Таким образом, задача сводится к определению коэффициентов 
. Эти коэффициенты можно было бы найти из условий (7), подставляя в них вместо каждого аргумента 
соответствующие выражения из (9):
Но в таком случае приходим к системе уравнений второй степени относительно неизвестных . Чтобы получить линейную систему (которую мы уже умеем решать), заметим сначала, что для 
из соотношений 
вытекает, что и 
. Действительно, разворачивая в выражении только второй аргумент 
, получим
Отсюда следует, что если для 
и 
, то и 
для . А в силу симметрии матрицы квадратичной формы и для 
.
С учетом изложенного задача сводится к следующему: определить коэффициенты 
так, чтобы базисный вектор
удовлетворял условиям
. (10)
К этим условиям, определяющим вектор 
с точностью до постоянного множителя, добавим условие
. (11)
Всего записано 
условий для определения 
неизвестных коэффициентов 
.
Положим в (10) 
и развернем аргумент :
Вспоминая, что 
- элементы заданной симметричной матрицы, запишем результат в виде 
Полагая в (10) 
, получим еще (
) линейных однородных уравнений относительно . Наконец, из (11) получаем последнее (уже неоднородное) уравнение.
В результате приходим к линейной системе
(12)
относительно 
неизвестных 
. Определитель этой системы
по условию отличен от нуля для 
. Поэтому система (12) – крамеровская, значит, совместна и определена, её единственное решение всегда можно найти. Таким образом, задача определения любого вектора канонического базиса решена.
Остаётся найти канонические коэффициенты 
(коэффициенты формы в каноническом базисе ). По условию (8) 
. Вычислим , разворачивая в 
только второй аргумент:
Но в силу условий (10) здесь отлично от нуля только последнее слагаемое, равное 1 в силу (11), т.е. остаётся 
. Из системы (12) по формуле Крамера находим 
:
= 
.¨ (13)
Замечание 1. Исходные базисные векторы 
можно было занумеровать в другом порядке, не говоря уж о том, что базис 
не обязательно было искать в виде (5). Это еще раз свидетельствует о том, что канонический базис не определяется единственным образом.
Пример. Рассмотрим квадратичную форму
.
в пространстве 
с базисом 
Напоминаем, что матрица квадратичной формы симметрична, т.е.
.
Аналогично 
. Наконец, 
. Поэтому матрица формы в заданном базисе 
имеет вид
.
Вычислим миноры: 
Все они отличны от нуля - условия теоремы Якоби выполнены. Ищем векторы канонического базиса в виде
Для облегчения последующих вычислений запишем симметричную билинейную форму, соответствующую заданной квадратичной форме:
.
Коэффициент 
находим из условия 
Значит, 
.
Чтобы записать вектор 
, надо найти коэффициенты 
и 
. Для их определения имеем два условия:
и 
.
Решаем систему 
Значит, 
.
Наконец, для вектора 
(т.е. для коэффициентов 
, 
и 
) имеем три условия:
и 
.
Решаем систему
Значит, 
.
Остаётся вычислить канонические коэффициенты по формулам (13)
и записать вид квадратичной формы в каноническом базисе :
.¨
Замечание 2. В теореме доказано, что при условии 
квадратичная форма приводится к каноническому виду
.
Можно ослабить условия, потребовав 
, т.е. 
(допускается, что 
может равняться нулю), и доказать, что форма может быть приведена к каноническому виду
.
