Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Метод Якоби.

Метод Якоби позволяет не только указать явные формулы перехода от заданного базиса к каноническому, но и получить формулы для канонических коэффициентов . Однако для этого квадратичная форма должна удовлетворять некоторым условиям.

Теорема (Якоби). Пусть в базисе квадратичная форма (1) имеет вид

где

И пусть определители (угловые миноры матрицы квадратичной формы)

отличны от нуля. Тогда существует канонический базис , в котором квадратичная форма записывается в виде суммы квадратов:

Здесь - координаты вектора в базисе , а канонические коэффициенты определяются формулами

= ,

Доказательство. Наша цель – определить базисные векторы так, чтобы элементы матрицы , расположенные вне главной диагонали, равнялись нулю

при , (7)

а диагональные элементы

. (8)

Процесс, с помощью которого это будет сделано, аналогичен процессу ортогонализации (п. 32). Будем искать векторы канонического базиса в виде

(9)

Таким образом, задача сводится к определению коэффициентов . Эти коэффициенты можно было бы найти из условий (7), подставляя в них вместо каждого аргумента соответствующие выражения из (9):

Но в таком случае приходим к системе уравнений второй степени относительно неизвестных . Чтобы получить линейную систему (которую мы уже умеем решать), заметим сначала, что для из соотношений вытекает, что и . Действительно, разворачивая в выражении только второй аргумент , получим

Отсюда следует, что если для и , то и для . А в силу симметрии матрицы квадратичной формы и для .

С учетом изложенного задача сводится к следующему: определить коэффициенты так, чтобы базисный вектор

удовлетворял условиям

. (10)

К этим условиям, определяющим вектор с точностью до постоянного множителя, добавим условие

. (11)

Всего записано условий для определения неизвестных коэффициентов .

Положим в (10) и развернем аргумент :

Вспоминая, что - элементы заданной симметричной матрицы, запишем результат в виде

Полагая в (10) , получим еще () линейных однородных уравнений относительно . Наконец, из (11) получаем последнее (уже неоднородное) уравнение.

В результате приходим к линейной системе

(12)

относительно неизвестных . Определитель этой системы

по условию отличен от нуля для . Поэтому система (12) – крамеровская, значит, совместна и определена, её единственное решение всегда можно найти. Таким образом, задача определения любого вектора канонического базиса решена.

Остаётся найти канонические коэффициенты (коэффициенты формы в каноническом базисе ). По условию (8) . Вычислим , разворачивая в только второй аргумент:

Но в силу условий (10) здесь отлично от нуля только последнее слагаемое, равное 1 в силу (11), т.е. остаётся . Из системы (12) по формуле Крамера находим :

= .¨ (13)

Замечание 1. Исходные базисные векторы можно было занумеровать в другом порядке, не говоря уж о том, что базис не обязательно было искать в виде (5). Это еще раз свидетельствует о том, что канонический базис не определяется единственным образом.