Сложная функция и ее производная

Если переменная  зависит от переменной , а переменная , в свою очередь, зависит от переменной , то есть , то  называют сложной функцией. При этом  называют промежуточным аргументом, а  – окончательным аргументом (иногда  называют внутренней функцией, а  - внешней функцией).

Составление сложной функции из двух функций называют суперпозицие й этих функций.

Формула дифференцирования сложной функции

 ,

то есть производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по окончательному.

Эту формулу применяют, если сложная функция образована одной суперпозицией (имеется лишь один промежуточный аргумент).

Пусть некоторая сложная функция имеет несколько промежуточных аргументов: u, v, w, …, z, то есть

Тогда производную функции по окончательному аргументу х находят по формуле:

.

Ранее введенные формулы дифференцирования элементарных функций (степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической и обратных тригонометрических функций) в случае сложной функции будут иметь следующий вид: