Производная переменной (аргумента)
Производная алгебраической суммы функций
Производная произведения функций
Производная частного функций
Формула дифференцирования степенной функции
Используя ранее полученные формулу дифференцирования для функций первой, второй и третьей степеней:
для аргумента в первой, во второй и в третьей степени мы можем получить следующее:
Применяя метод математической индукции, формула производной степенной функции будет выглядеть следующим образом:
Приняв и , получаются следующие формулы:
и
Формула дифференцирования показательной функции
(Использовался известный предел )
В случае , применяя определение натурального логарифма, для числа е получаем формулу:
Формула дифференцирования тригонометрических функций
А) синуса
|
|
(применялась формула разности синусов и использовался первый замечательный предел: )
Б) косинуса
(применялась формула разности косинусов и использовался первый замечательный предел: )
В) тангенса
,
По определению, . Воспользуемся формулой производной частного функций и основным тригонометрическим тождеством:
Г) котангенса
,
По определению, . Воспользуемся формулой производной частного функций и основным тригонометрическим тождеством:
Для нахождения производных логарифмической и обратных тригонометрических функций понадобится теорема о производной обратной функции, так как данные функции являются обратными к показательной и тригонометрическим функциям соответственно.
Производная обратной функции
Теорема. Если функция , и ее обратная функция имеют производные, то .
Опуская значение аргументов, получаем или .
Формула дифференцирования логарифмической функции
Функция , где является обратной к функции .
Используя формулу производной обратной функции, будем иметь:
,
.
Итак, . В частности, .