Метод деления на многочлен

1 2

Изучить теорию и выполнить задания для самостоятельной работы.

Теория

Методы решения уравнений

Метод разложения на множители.

Уравнение вида можно заменить совокупностью двух более простых уравнений и , где .

Способы разложения на множители:

- вынесение общего множителя за скобки;

- способ группировки;

- применение формул сокращенного умножения.

Пример 1.

ОДЗ: x - любое число.

Вынесем за скобку множитель .

Ответ: ,

Пример 2. .

ОДЗ: х – любое число.

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки:

Вынесем множитель за скобку:

х =0,2 х =5

Ответ: -1; 0,2; 5.

Пример 3. .

ОДЗ: х – любое число.

Сгруппируем первые три слагаемых и воспользуемся формулой квадрата разности двух чисел:

Применим формулу разности квадратов двух чисел:

нет корней.

Ответ: .

Метод введения новой переменной.

Введение новой переменной позволяет разбить задачу на подзадачи и решить вместо одного сложного несколько простых уравнений.

Пример 4.

ОДЗ: х – любое число.

Замена: ,

Вернемся к замене:

Ответ: 1,5; -0,5; .

Пример 5.

ОДЗ: х и у любые числа.

Многочлен называется однородным, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если - однородный многочлен, то однородное уравнение.

Вынесем общий множитель за скобки:

Если х =0, то у – любое число.

Если , то . Разделим обе части уравнения на и введем новую переменную .

Вернемся к замене:

Пусть а – действительное число. Тогда ответ можно записать в виде:

(0; а), (а; 2а), (2а; а).

Пример 6.

ОДЗ: х – любое число.

Многочлен называют симметрическим, если коэффициенты членов, равно отстоящих от концов, равны между собой. Для многочленов с двумя переменными - если при одновременной замене х на у и у на х, многочлен сохраняет свой вид. Например, .

Разделим обе части данного уравнения на .

Сгруппируем 1 и 5 слагаемое, 2 и 3 слагаемое:

Пусть , тогда , а

Вернемся к замене:

Решив эти уравнения, получаем корни .

Ответ:

Метод деления на многочлен.

Этот метод применяют при решении уравнений высших степеней. Цель – понизить степень многочлена.

Пример 7.

ОДЗ: х – любое число.

Выпишем делители свободного члена многочлена:

±1; ±2; ±3; ±6.

Число 1 обращает многочлен в 0. Значит х =1 – корень уравнения.

Разделим многочлен на двучлен . Получим .

Ответ: 1; -3; 2.

2. Избавление от знаменателя.

Для того чтобы избавиться от знаменателя необходимо умножить обе части уравнения на общий знаменатель. Этот тип уравнений требует собой осторожности, т.к. найденные корни могут обращать знаменатель в 0.

Пример 8.