Аналитический способ отделения корней уравнения

Для алгебраических уравнений есть несколько аналитических способов отделения корней: правило знаков Декарта, метод Штурма, критерий Рауса-Гурвица и т.д. В основном эти методы позволяют определить количество корней в каком-то промежутке. Для трансцендентных уравнений универсального метода нет, т.е. нет алгоритма, следуя которому можно отделить корни произвольного трансцендентного уравнения.

Пример 1. Отделить корни уравнения

10arctg x-x+3=0.

Решение: f(x)=10arctgx-x+3. Находим производную, . Вычисляем корни производной, . Составляем таблицу знаков функции f (x), полагая x равным: критическим значениям функции (корням производной) или близкими к ним; граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).

Из таблицы видно, что корни заключены в следующих промежутках:

Рассмотрим уравнение

Для определения корней производной получаем уравнение

которое то же трансцендентное, и ничуть не проще его. В отличие от рассмотренного выше примера, где после взятия производной получили простое алгебраическое уравнение. То есть, аналитическим способом можно отделять корни тогда, когда можно просто найти корни производной.