Метод половинного деления (дихотомии)

Самым простейшим из методов уточнения корней является метод половинного деления, или метод дихотомии, предназначенный для нахождения корней уравнений, представленных в виде f(x)=0.

Пусть непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)×f(b)< 0

(рис. 2), тогда на отрезке имеется хотя бы один корень.

Возьмем середину отрезка с=(a+b)/2. Если f(a)×f(с) 0, то корень явно принадлежит отрезку от a до (a+b)/2 и в противном случае от (a+b)/2 до b. Поэтому берем подходящий из этих отрезков, вычисляем значение функции в его середине и т.д. (вот вам и цикл) до тех пор, пока длина очередного отрезка не окажется меньше заданной предельной абсолютной погрешности (вот и управляющее работой цикла условие) (b-a)< (или выполнятся другие вышеупомянутые критерии).

Рис. 2. Метод деления отрезка пополам

Т.к. каждое очередное вычисление f(c) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке [a,b] и предельной погрешности количество вычислений n определяется условием (b-a)/2ⁿ< , или

n~log₂((b-a)/ ). Например, при исходном единичном интервале и точности порядка 6 знаков ( ~ 10^-6) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.

С точки зрения машинной реализации (рис.3) этот метод наиболее прост и используется во многих стандартных программных средствах, хотя существуют и другие более эффективные по затратам времени методы.

Рис.3. Блок-схема метода половинного деления

4. Оснащение: микрокалькуляторы, линейка, карандаш

5. Задания:

1, 3. Отделить корни графически.

2. Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом половинного деления.

Индивидуальные задания:

№1	1) ; 2) ; 3)	№9	1) ; 2) ; 3) .
№2	1) ; 2) ; 3) .	№10	1) ; 2) ; 3) .
№3	1) ; 2) ; 3) ;	№11	1) ; 2) ; 3) ;
№4	1) ; 2) ; 3) .	№12	1) ; 2) ; 3) .
№5	1) ; 2) ; 3) .	№13	1) ; 2) ; 3) .
№6	1) ; 2) ; 3) ;	№14	1) ; 2) ; 3) .
№7	1) ; 2) ; 3) .	№15	1) ; 2) ; 3) .
№8	1) ; 2) ; 3) .	№16	1) ; 2) ; 3) .

6. Порядок выполнения работы:

Задание 2.

Обозначить левую часть уравнения за и найти первую производную.
Найти корни производной.
Составить таблицу знаков функции , полагая х равным

а) корням производной или близким к ним;

б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).

x		Корень
знак

Если происходит смена знака функции, то уравнение имеет действительный корень.

Для завершения операции отделения корней следует уменьшить промежутки, содержащие корни, так чтобы их длина была не больше 1. Составить новую таблицу знаков функции .
Выбрать промежутки, в которых заключены корни.
Уточнить один корень до методом половинного деления при помощи Microsoft Excel и составить таблицу вида: