Определение опорных реакций балок

Цель работы:

1 Научиться определять реакции в опорах балок.

2 Составлять уравнения равновесия плоской системы произвольно-расположенных сил.

3 Научиться определять равнодействующую силу распределенной нагрузки.

Порядок выполнения работы:

1 Заменить распределенную нагрузку ее равнодействующей, которая является сосредоточенной силой. Для равномерно распределенной нагрузки равнодействующая равна произведению интенсивности нагрузки q на длину участка, на котором она действует:

R = q • l, (2)

Перед решением задач рекомендуется уяснить и закрепить порядок нахождения равнодействующей и определения расстояний от нее до опор. При отсутствии навыков решения таких задач необходимо указывать положение равнодействующей относительно опор. В дальнейшем этого можно не делать.

2 Обозначить опоры. Общепринято их обозначать буквами А и В (D). Простая балка имеет одну шарнирно-неподвижную и вторую шарнирно-подвижную опору.

З Освободиться от опор и заменить их действие на балку реакциями. На балку действуют только вертикальные нагрузки и сосредоточенные моменты. Реакции опор при такой нагрузке будут только вертикальными. Обычно их направляют вверх (против действия основной нагрузки) и обозначают реакцию опоры A – R_A, а опоры B - R_B.

4 Составить уравнения равновесия вида:

∑ F_i _х = 0;

∑ F_i_у = 0;

∑ М_А = 0, (3)

Напомним, что моментом силы относительно точки называется произведение этой силы на плечо – кратчайшее расстояние от этой точки приложения силы (в общем случае до линии действия силы).

Если сила стремится повернуть балку относительно рассматриваемой точки по часовой стрелке, то будем считать ее момент положительным, а если против – отрицательным. Сосредоточенный момент не умножается на расстояние до опоры, а правило знаков остается тем же, что для момента силы.

Решить уравнения и найти реакции R_A и R_B.

5.Выполнить проверку решения. Для этого составляют уравнение равновесия:

∑ М_B = 0, (4)

Если оно удовлетворено, то реакции найдены правильно, а если нет, то в решении допущена ошибка.

Пример 2 Определить реакции опор балки, если известно

F = 20 кН, М =10 кН× м, q = 1 кН/м (рисунок 5).

Рисунок 5 Схема задачи

Решение:

1 Изображаем балку вместе с нагрузками.

2 Выбираем расположение координатных осей, совместив ось Х с балкой, а ось У направив перпендикулярно оси Х.

3 Производим необходимые преобразования заданных активных сил: силу, наклонённую к оси балки под углом α, заменяем двумя взаимно перпендикулярными составляющими

F_х = F× сos 30° = 20× 0,866 = 17, 32 кН

F_у = F× сos 60° = 20× 0,5 = 10 кН,

а равномерно распределенную нагрузку - её равнодействующей

Q = q × CD = 1 × 2 = 2 кН,

Равнодействующая Q приложена в середине участка CD, в точке К (рисунок 6).

Рисунок 6 Схема преобразования заданных активных сил

4 Освобождаем балку от опор, заменив их опорными реакциями, направленными вдоль выбранных осей координат (рисунок 7).

Рисунок 7 Схема реакций балки

5 Составляем уравнения равновесия статики для произвольной плоской системы сил таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор и определяем неизвестные реакции опор.

∑ М_А = 0; F_у × АВ + M + Q× AK - R_Dy ×AD = 0 (1)

∑ М_D= 0; R_Ay ×AD - F_у × ВD + M - Q× KD = 0 (2)

∑ F_iх = 0; R_Aх - F_х = 0 (3)

6 Определяем реакции опор балок R_Ay, R_Dy и R_Aх решая уравнения.

Из уравнения (1) получаем

R_Dy = F_у × АВ + M + Q× AK / AD = 10 × 1 + 10 + 2 × 3 / 4 = 6,5 кН

Из уравнения (2) получаем

R_Ay ×= F_у × ВD - M + Q× KD / AD =10 × 3 - 10 + 2 / 4 = 5,5 кН

Из уравнения (3) получаем

R_Aх = F_х = F× сos 30° = 20× 0,866 = 17, 32 кН

7 Проверяем правильность найденных результатов:

∑ F_i_y= 0; R_Ay - F_у - Q + R_Dy = 5,5 - 10 - 2 + 6,5 = 0