Приведём другое решение

Вариант № 24592965

Задание 1 № 367487

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в ответ запишите последовательность четырёх цифр без пробелов и других дополнительных символов.

 

Объекты	Хутор Камышино	Село Большое	Озеро Круглое	Деревня Дубки
Цифры

 

На плане (см. рисунок) изображена местность, прилегающая к озеру Круглому. Для удобства план нанесён на квадратную сетку, сторона каждого квадрата которой равна 500 м. Населённые пункты обозначены на плане жирными точками.

Рядом с озером Круглое находится болото, обозначенное на плане штриховкой. На болоте расположен хутор Камышино. От хутора Камышино проложена дорога к деревне Дубки, вокруг которой имеются дубовые рощи. Далее дорога идёт к селу Большое, расположенному по другую сторону озера от хутора Камышино. Село Большое соединено также дорогой с деревней Малая, обозначенной на плане цифрой 7. Деревня Малая, в свою очередь, соединена дорогой с деревней Дальней (отмечена цифрой 4). Преобладающая часть изображённой на плане местности — это поля, используемые для выращивания злаков.

Решение.

Рядом с озером Круглое находится болото, обозначенное на плане штриховкой. На болоте расположен хутор Камышино, значит, хутор Камышино отмечен на плане цифрой 2. На плане (см. рисунок) изображена местность, прилегающая к озеру Круглому, значит, озеро Круглое отмечено цифрой 5. От хутора Камышино проложена дорога к деревне Дубки, вокруг которой имеются дубовые рощи, следовательно, деревня Дубки отмечена цифрой 1. Далее, от деревни Дубки, дорога идёт к селу Большое, расположенному по другую сторону озера от хутора Камышино, поэтому село Большое отмечено цифрой 6.

 

Ответ: 2651.

Задание 2 № 367488

Автомобиль расходует в среднем 9 л топлива на 100 км пути. Сколько литров топлива израсходует автомобиль при поездке из хутора Камышино в деревню Малая по имеющимся дорогам?

 

Решение.

Сторона каждого квадрата равна 500 м. От хутора Камышино до деревни Дубки 6 клеток. От деревни Дубки до села Большого 8 клеток. От села Большого до деревни Малая 6 клеток. Значит, расстояние, которое нужно проехать, равно

Чтобы проехать один километр, понадобится литров бензина. Значит, при поездке из хутора Камышино в деревню Малая понадобится л.

 

Ответ: 0,9.

Задание 3 № 367489

Найдите площадь (в км²) болота, отмеченного на плане.

 

Решение.

Сторона одной клетки равна 500 м. Значит, площадь болота равна:

Ответ: 3,75.

Задание 4 № 367490

Найдите расстояние (в метрах) по прямой от хутора Камышино до села Большое.

 

Решение.

Сторона одной клетки равна 500 м. Значит, расстояние по прямой от хутора Камышино до села Большое по теореме Пифагора:

Ответ: 5000.

Задание 5 № 367491

Для улучшения сообщения между населёнными пунктами планируется построить ещё одну дорогу: из хутора Камышино в деревню Малая либо из хутора Камышино в деревню Дальняя. Дорога должна соединить населённые пункты по прямой. Цена прокладки дороги по полю равна 10 млн рублей за 1 км, по болоту – 20 млн рублей за 1 км. Из указанных двух вариантов дороги выберете тот, стоимость которого будет ниже. В ответе укажите стоимость (в млн рублей) выбранного варианта дороги.

 

Решение.

Сторона одной клетки равна 500 м. Значит, 1 км дороги из хутора Камышино в деревню Малая будет проходить по болоту, а другие 3 км — по полю. Следовательно, стоимость дороги из хутора Камышино в деревню Малая равна

млн рублей.

Далее, 2 км дороги из хутора Камышино в деревню Дальняя будет проходить по болоту, а 0,5 км — по полю. Следовательно, стоимость дороги из хутора Камышино в деревню Дальняя равна

млн рублей.

Таким образом, стоимость дороги из хутора Камышино в деревню Дальняя меньше и равна 45 млн рублей.

 

Ответ: 45.

Задание 6 № 337385

Найдите значение выражения

Решение.

Выполним действие в скобках, затем умножение:

 

 

Ответ: 79,2.

 

Приведём другое решение.

Раскроем скобки и выполним умножение:

 

 

Задание 7 № 341398

На координатной прямой отмечено число a.

Какое из утверждений относительно этого числа является верным?

 

1) a − 8 > 0

2) 7 − a < 0

3) a − 3 > 0

4) 2 − a > 0

Решение.

Заметим, что , тогда:

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

4) Неверно.

 

Ответ: 3.

Задание 8 № 337692

Найдите значение выражения (1,7 · 10^− 5)(2 · 10^− 2).

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) 0,0000034

2) 34000000000

3) 0,000000034

4) 0,00000034

Решение.

Раскроем скобки и перегруппируем множители:

 

 

Правильный ответ указан под номером: 4.

Задание 9 № 338915

Решите уравнение

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение.

Последовательно получаем:

 

Ответ: 06.

Задание 10 № 325288

Средний рост жителя города, в котором живет Даша, равен 170 см. Рост Даши 173 см. Какое из следующих утверждений верно?

1) Даша — самая высокая девушка в городе.

2) Обязательно найдется девушка ниже 170 см.

3) Обязательно найдется человек ростом менее 171 см.

4) Обязательно найдется человек ростом 167 см.

Решение.

Первое утверждение неверно: например, в городе могут жить три девушки ростом 162 см, 173 см и и 175 см.

Второе утверждение неверно: в городе может жить только одна девушка — Даша.

Третье утверждение верно: если все жители будут не ниже 171 см, то средний рост будет не меньше 171 см.

Четвёртое утверждение неверно: например, в городе могут жить трое жителей ростом 165 см, 172 см и 173 см.

 

Ответ: 3.

Задание 11 № 34

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

 

1)

2)

3)

4)

 

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.

 

А	Б	В

 

Решение.

Определим вид графика каждой из функций.

1) — уравнение параболы, ветви которой направленны вверх.

2) — уравнение прямой.

3) — уравнение верхней ветви параболы, направленной вправо.

4) — уравнение гиперболы.

Тем самым найдено соответствие: A — 1, Б — 4, В — 2.

 

Ответ: 142.

Задание 12 № 137295

Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

 

1)

2)

3)

4)

Решение.

Рассмотрим несколько первых членов последовательности:

Отметим, что числа, указанные под номерами 1), 2) и 4) являются 2-м, 4-м и 6-м членом последовательности соответственно. Докажем, что число указанное под номером 3, не является членом последовательности (*).

Действительно, первые 6 членов последовательности уже проверены. Для следующих членов первое слагаемое в сумме не меньше 7, а абсолютная величина второго слагаемого не больше Поэтому для всех справедлива оценка Тем самым, число не является членом данной последовательности.

 

Правильный ответ указан под номером 3.

 

 

Примечание.

Доказательство (*) является неотъемлемой частью решения. Полагать, что число не является членом последовательности потому, что «раз не совпало с первыми членами, то и потом не совпадёт» безосновательно.

Задание 13 № 350738

Найдите значение выражения: , если

Решение.

Упростим выражение:

 

 

Подставим значение :

 

 

Ответ: 8

Задание 14 № 311348

Площадь ромба можно вычислить по формуле , где — диагонали ромба (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите диагональ , если диагональ равна 30 м, а площадь ромба 120 м².

Решение.

Подставим в формулу известные величины:

 

 

 

Ответ: 8.

Задание 15 № 311309

Решите неравенство .

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1)

2)

3)

4)

Решение.

Решим неравенство:

.

 

Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если оба сомножителя имеют одинаковый знак.

Правильный ответ указан под номером 1.

Задание 16 № 339989

В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC, AD = CD, ∠ B = 77°, ∠ D = 141°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Проведём диагональ BD. Рассмотрим треугольники ABD и BCD, AB равно BC, AD равно CD, BD — общая, следовательно, треугольники равны. Откуда ∠ CBD = ∠ ABD = ∠ B /2 = 38,5° и ∠ CDB = ∠ ADB = ∠ D /2 = 70,5°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда ∠ A = 180° − ∠ ABD − ∠ ADB = 180° − 38,5° − 70,5° = 71°.

 

Ответ: 71.

Задание 17 № 311410

Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.

Решение.

Найдем отрезок DO: DO = OB − BD = 5 − 1 = 4. Так как OB перпендикулярен AC, треугольник AOD — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: . Треугольник AOC — равнобедренный так как AO = OC = r, тогда AD = DC. Таким образом, AC = AD ·2 = 6.

 

Ответ: 6.

Задание 18 № 169868

Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.

Решение.

Диагонали ромба пересекаются под углом 90° и точкой пересечения делятся пополам. Из прямоугольного треугольника, катетами которого являются половины диагоналей ромба, а гипотенузой — сторона ромба, по теореме Пифагора найдем половину неизвестной диагонали: Тогда вся неизвестная диагональ равна 8.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

 

Ответ: 24.

Задание 19 № 349019

Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Впишем в окружность квадрат так, как показано на рисунке. Стороны квадрата отсекают на окружности равные дуги. Поэтому градусная мера дуги AC, на которую опирается угол ABC, составляет полного угла 360°, т. е. равна 270°. Угол ABC вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Следовательно, угол ABC равен 135°.

 

Ответ: 135.

Задание 20 № 341358

Какие из следующих утверждений верны?

 

1) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

3) Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

 

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов» — верно, для того, чтобы существовал треугольник, сумма любых его двух сторон должна быть больше третьей стороны.

2) «В тупоугольном треугольнике все углы тупые.» — неверно: в тупоугольном треугольнике один тупой и два острых угла.

3) «Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.» — верно.

 

Ответ: 13.

Задание 21 № 311618

Решите уравнение .

Решение.

Квадрат любого числа неотрицателен. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, только если они оба равны нулю. Получаем систему уравнений:

 

 

Из первого уравнения или .
Из второго уравнения или .
Системе удовлетворяет единственное значение .

Ответ: −5.

Задание 22 № 316357

Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.

Решение.

Пусть масса первого сплава x кг. Тогда масса второго сплава (x + 4) кг, а третьего — (2 x + 4) кг. В первом сплаве содержится 0,05 x кг меди, а во втором — 0,13(x + 4) кг. Поскольку в третьем сплаве содержится 0,1(2 x + 4) кг меди, составим и решим уравнение:

Значит, масса третьего сплава равна 16 кг.

 

Ответ: 16 кг.

Задание 23 № 311576

Известно, что парабола проходит через точку и её вершина находится в начале координат. Найдите уравнение этой параболы и вычислите, в каких точках она пересекает прямую

Решение.

Уравнения параболы, вершина которой находится в начале координат: . Парабола проходит через точку B, подставим координаты точки в уравнение параболы: , получаем: . Уравнение параболы: . Абсциссы точек пересечения с прямой найдем, подставив в уравнение параболы:

.

Ответ:

Задание 24 № 311700

Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30° и 90°.

Решение.

Пусть в треугольнике отрезок служит медианой, при этом = 90°, = 30°. Возьмем на продолжении отрезка точку так, что . Тогда треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, = 90°. Поэтому треугольник — прямоугольный с углом , равным 30°. Следовательно, .

 

Ответ: 1:2.

Задание 25 № 340324

Окружности с центрами в точках O ₁ и O ₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m: n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m: n.

Решение.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда

Задание 26 № 156

Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.

Решение.

Медиана BM делит AC пополам. Центр окружности лежит на середине медианы BM, тогда ON — средняя линия в треугольнике BMC, где O — центр окружности, а N — точка пересечения этой окружности стороны BC. Средняя линия в треугольнике равна половине основания, поэтому ON = 1. Средняя линия ON является радиусом окружности. Так как медиана BM является диаметром, то BM = 2 ON = 2. Проведем MN в треугольнике BMC. Так как угол BNM опирается на диаметр BM, то таким образом, треугольник BNM — прямоугольный. Так как MN — средняя линия, то она параллельна AB, тогда треугольник ABC — прямоугольный. Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, таким образом, радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности равен 2.