Гипербола

Гиперболой называется линия, для каждой точки на которой абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек и этой же плоскости (фокусов эллипса) есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами: .

Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат:

.

где — действительная, — мнимая полуось гиперболы. Числа и — соответственно действительная и мнимая оси гиперболы.

Признак уравнения гиперболы: коэффициент при и коэффициент при имеют разные знаки и по абсолютной величине не равны между собой.

Для гиперболы :

1) координаты фокусов: , , где — половина расстояния между фокусами (см. рис);

2) числа , и связаны соотношением ;

3) расстояние между фокусами равно ;

4) точки и называются вершинами гиперболы, точка - центром гиперболы;

Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой , а стороны равны и параллельны осям гиперболы, называется основным прямоугольником гиперболы.

Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы; они определяются уравнениями .

Уравнение или также является уравнением гиперболы, но действительной осью этой гиперболы служит отрезок оси длины .

Пример. Составьте уравнение гиперболы, если её фокусы лежат на оси и расстояние между ними равно 10, а длина мнимой оси равна 8.

По условию, ; . Тогда по формуле получим:

.

Тогда уравнение гиперболы: .

Уравнения ,

также задают гиперболу, координаты центра которой задаются точкой .

Уравнение гиперболы со смещенным центром в точке :

В школьном курсе математики изучались гиперболы вида (или ) как график обратной пропорциональной зависимости.

Положение такой гиперболы зависит от знака и величины .

Асимптотами гиперболы являются прямые, проходящие через центр гиперболы: .

Уравнение гиперболы с центром в точке с координатами имеет вид

Пример. Построить гиперболу по уравнению

Приведем данное уравнение к виду , получим: , значит, , , . Точка – центр гиперболы. Ветви находятся в первой и третьей четвертях.

Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат:

1) с осью :

2) с осью :