Эксперимент 2. Моделирование негармонических колебаний

В разделе математики, который называется гармоническим анализом, доказано, что любую периодическую функцию Y(t) с частотой v можно представить в виде суммы гармонических (синусоидальных) функций с частотами v, 2v, 3v, 4v.... Такие слагаемые называют гармониками, а представление функции в виде суммы гармоник называют ее гармоническим разложением:

Y(t)=A₁*sin(2πvt+ⱷ₁) + A₂*sin(4πvt+ⱷ₂)+ A₃*sin(6πvt+ⱷ₃)+…,

где A₁, А₂,…- амплитуды гармоник, а ⱷ₁, ⱷ₂ … — начальные фазы гармоник. Количество слагаемых для некоторых таких функций может быть конечным, но в общем случае оно бесконечно.

Пример. Построим график негармонической периодической функции, представленной в виде суммы двух гармоник:

Y(t)=A₁*sin(2πvt) + A₂*sin(4πvt)

Начальные фазы здесь равны нулю. Выполним расчеты для следующих значений параметров: v = 20 Гц, А₁ = А₂ = 1. Как было сделано ранее, вычисления мы будем производить на отрезке времени от 0 до 0,1 с, а шаг табулирования выберем равным 0,005.

Для получения нужной таблицы значений достаточно заменить содержимое ячейки В5 на следующую формулу:

=$C$2*SIN(2*ПИ()*$C$1*A5)+$C$2*SIN(2*ПИ()*2*$C$1*A5),

а затем скопировать эту формулу вниз по столбцу В.

Получаемый график представлен на рисунке 3 ниже. Из него видно, что период колебаний равен 0,05 с, т. е. периоду первой гармоники. Максимальная амплитуда колебаний увеличилась и стала равна приблизительно 1,54.

Рисунок 3

Электронные таблицы

Задание 2. Получите график колебаний, который отличается от рассмотренного выше тем, что амплитуда второй гармоники в два раза меньше, чем первой: А₂ = А₁/2.

Задание 3. Получите график колебаний, складывающихся из трех гармоник со следующими параметрами: А₁ = 1, v₁ = 20 Гц; А₂ = A₁/2, v₂ = 2₁; А₃ = А₂/2, v₃ = 2₂. Начальные фазы равны нулю.

Задание 4. Получите график колебаний, складывающихся из двух гармоник с параметрами: А₁ = 1, V₁ = 20 Гц, ⱷ₁ = 0; А₂ = A₁, v₂ = 2v₁, ⱷ₂ = π/2. Сравните полученный график с рисунком выше. Сделайте вывод: как сдвиг фаз между гармониками повлиял на амплитуду колебаний? На период колебаний?