Критерии устойчивости Михайлова

Критерий Михайлова является частотным. Для оценки устойчивости используется характеристический многочлен передаточной функции замкнутой САУ. Структура САУ может быть любой.

Подготовительные операции.

Пусть замкнутая САУ имеет следующую передаточную функцию

Из коэффициентов характеристического многочлена

образуем годограф Михайлова

(3.4)

Вычисляем и строим годограф D(jω) при значениях ω = 0 … ∞ (рис.1.36).

Рисунок 3.2 - К оценке устойчивости по годографу Михайлова

Формулировка критерия Михайлова: САУ п -го порядка устойчива, если годограф Михайлова, начинаясь на положительной части действительной оси, проходит против часовой стрелки подряд ровно п квадрантов (рис.3.2а). Если годограф проходит п квадрантов не подряд или проходит меньше квадрантов, чем п, то САУ неустойчива (рис.3.2б). Если годограф при любой частоте проходит через начало координат, то САУ находится на грани устойчивости (рис.3.2в).

Оценка устойчивости с использованием графика годографа Михайлова наглядна, но требует громоздких вычислений по выражению (3.4). Если учесть, что для оценки устойчивости важен только факт прохождения годографом п квадрантов против часовой, а не сама форма годографа (рис.3.2а), то на этом можно существенно сократить вычисления. Достаточно найти частоты ω₁, ω₂, …, ω_п, при которых пересекаются оси координат, упорядочить их по возрастанию и для этих частот найти последовательно знаки (+ или -) выражений Р(ω₁), Q(ω₂), P(ω₃),…, где Р и Q - соответственно, действительные и мнимые части выражения W(jω). САУ будет устойчива, если знаки выражений Р и Q будут чередоваться согласно табл.3.1.