Критерии устойчивости Найквиста

Критерий Найквиста является частотным. САУ должна иметь структуру с единичной обратной связью. Для оценки устойчивости используется частотная характеристика разомкнутой САУ.

Подготовительные операции.

Вычисляем и строим годограф W_раз (jω) частотной характеристики разомкнутой САУ при значениях ω = 0 … ∞ (рис.3.4).

Формулировка критерия Найквиста зависит от вида частотной характеристики W_раз (jω) разомкнутой САУ. Ниже рассмотрим только два вида W_раз (jω), которые чаще всего встречаются на практике.

Рисунок 3.3 - Устойчивость по Найквисту при устойчивой разомкнутой САУ

 

1). Пусть разомкнутая САУ устойчива. Тогда замкнутая САУ будет устойчива, если годограф W_раз (jω) Найквиста, начинаясь на положительной части действительной оси, не охватывает точку –1 действительной оси (рис.3.3). Если годограф охватывает точку –1 действительной оси (рис.3.3б), то САУ неустойчива (рис.3.3б), а если проходит через точку –1 действительной оси, то САУ находится на грани устойчивости (рис.3.3в).

2). Пусть разомкнутая САУ обладает астатизмом 1-го порядка, являясь САУ, находящейся на грани устойчивости. В этом случае начало годографа W_раз (jω) разомкнутой САУ при ω=0 находится на бесконечности (рис.3.4).

Рисунок 3.4 - Устойчивость по Найквисту при астатической разомкнутой САУ

 

 Необходимо такой годограф дополнить дугой бесконечно большого радиуса, начинающейся на положительной части действительной оси и заканчивающийся на начале годографа W_раз (jω). Тогда к такому годографу применимы все правила, по которым оценивалась устойчивость как на рис.3.3.

 

 

Пример решения

 

 

1. Произведем оценку устойчивости по критерию Гурвица.

Даны передаточные функции объекта и Д-регулятора:

            

Эквивалентная передаточная функция будет иметь вид:

Окончательно замкнутая САУ имеет следующую передаточную функцию:

Составляем определитель Гурвица:

Далее вычисляем диагональные определители Гурвица:

Так как все определители положительны, поэтому САУ устойчива.

2. Рассчитаем ошибки регулирования.

Для постоянного входного сигнала x₁=12 его изображение в соответствии с приложением А имеет вид x₁(s)=12/s. Статическая ошибка будет равна:

Для входного сигнала, изменяющегося с постоянной скоростью по закону x₂=15t, его изображение в соответствии с приложением А имеет вид x₂(s)=15/s². Скоростная ошибка будет равна

3. Произведем оценку устойчивости по критерию Михайлова.

Передаточная функция замкнутой САУ:

Их характеристического уравнения выражаем годограф Михалова. 

,

Составляем таблицу значений для построения годографа.

 

 

Таблица 3.2 – Значения частот для критерий Михайлова

ω	-1,22	0	1,22
P(ω)	0	+	0
Q(ω)	-	0	+

Согласно полученным данным исследуемая САУ устойчива.

Строим годограф Михайлова в Matlab:

(>> sys=tf([1 2 16 3],1)

>> nyquist(sys))

 

Рисунок 3.5 - Годограф Михайлова.

4. Произведем оценку устойчивости по критерию Найквиста.

Из п.1 передаточная функция разомкнутой САУ

Последовательность построения годографа приведена в работе 1. Строим годограф Найквиста.

Рисунок 3.6 - Годограф Найквиста

 

Из рис. 3.6 видно, что годограф не огибает точку (0;-1) следовательно САУ устойчива.