Нестационарные процессы а длинных линиях

Уравнения линии в нестационарном режиме. Длинные липни и их от­резки используются в качестве формирователей импульсов, элементов задержки сигналов, накопителей энергии и по многих других практически важных случаях. В таких применениях длинные линии работают в нестационарных режимах. Анализ этих процессов обычно выполняется при помощи уравнении линии в операторной форме с учетом (пли без учета) ненулевых начальных условии.

Рассмотрим двухпроводную длинную пинию с потерями, изображенную на рисунке 10. Дифференциалъные уравнения для мгновенных значений напряжения и тока в произвольном сечении линии имеют вид:

                (4.68)(4.68a)

где мгновенные значения напряжения и - и[х,t) и тока i = i(x,tf) являются функциями координаты х и времени t.

Рисунок 10- (31.1) Схема включения двухпроводной линии

 

Применяя преобразование Лапласа к уравнениям (4.68)(4.68a), получим систему уравнений в полных производных:

                (4.69)(4.69a)

где U (s,x) = u(x, t) и I(s, x) = i (x, t) - операторные изображения операторные изображения мгновенных значений напряжения и тока в линии;

u(х, 0) и i(x, 0) - ненулевые начальные условия для напряжения и тока в линии, соответственно.

Вводя обозначения погонных операторных сопротивлений и проводимостей:

                (4.70)(4.70a)

Представим (4.69) и (4.69a) в виде:

                (4.71)

 

               (4.71a)

Для разделения переменных в уравнениях (4.71) и (4.71а) продифференцируем эту систему уравнений по х:

   (4.72)(4.72a)

Произведя подстановку значении первых производных из уравнений (4.72) и (4.72а) в уравнения (4.70) и (4.70а), получим операторные уравнения линии с разделенными переменными:

 4.73)(4.73a)

Система уравнений линии (4.73) и (4.73a) позволяет определить операторные значения напряжения и тока в произвольном сечении линии при любых начальных условиях.

При нулевых начальных условиях u(x,0) = 0 и i(x,0) = 0 система уравнений (4.73) и (4.73a) упрощается и принимает вид:

               (4.74)(4.74a)

Вводя значение операторного коэффициента передачи линии

Y(s)), запишем уравнения линии форме:

 

               (4.75)(4.75a)

Решение уравнений линии при нулевых начальных условиях.

Решение уравнений линии (4.75) для напряжения ищем в виде:

                           (4.76)

где –γ(s) и +γ[s) - корни характеристического уравнения, А и В - постоянные интегрирования.

Аналогично находим решение для тока в линии:

                           (4.76a)

 - операторное значение волнового сопротивления линии.

Для определения постоянных интегрирования необходимо воспользоваться граничными условиями. Рассмотрим три типа наиболее распространенных гра­ничных условий:

- известны напряжение U_t1s) и ток I₁(s) в начале линии,

- известны напряжение U₂(s) и ток I₂(s) в конце линии.

- известны напряжение U₂(s) и сопротивление нагрузки Z₂(s).