Порядок выполнения работы и оформление результатов

Лабораторная работа № 5

 

Изучение особенностей МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ УСКОРЕНИЯ И НАГРЕВА ЧАСТИЦ ПОРОШКОВ В ПЛАЗМЕННОЙ СТРУЕ

 

Цель работы: освоить методику расчета скорости и температуры частиц порошков при плазменном напылении покрытий.

 

Общие сведения

 

Задачу о температурном и скоростном взаимодействии частиц порошков с плазменным потоком можно представить в виде системы дифференциальных уравнений движения, нагрева и плавления частицы при граничном условии конвективного и лучистого теплообмена на ее поверхности и условии равенства температур на межфазной границе “жидкость-твердое тело”:

 

,                                      (5.1)

,                                         (5.2)

,                           (5.3)

,                                         (5.4)

,                                     (5.5)

 

где r_р, с_р, l_р – соответственно плотность, теплоемкость и теплопроводность напыляемого материала; Т_р(r_р, t) – распределение температуры в частице в момент времени t; r_р = 0 - R, R – радиус частицы; u_р(l) – скорость частицы на расстоянии l от среза сопла плазмотрона; r_g, u_g, Т_g – текущие значения плотности, скорости и температуры плазменного потока; a – коэффициент конвективного теплообмена в системе “газ-частица”; Q_rad – радиационная составляющая теплового потока к поверхности частицы; e - текущая координата фронта плавления (0 £ e £ R), индексы 2 и 1 относятся соответственно к параметрам жидкого и твердого состояний; Т_pm, L_pm – температура плавления и теплота плавления напыляемого материала; j₁ – коэффициент скоростного взаимодействия, определяющий величину ускорения частицы:

 

,                                             (5.6)

где С_d – коэффициент аэродинамического сопротивления частицы радиусом R; r_g, r_р – соответственно плотности плазмы и напыляемого материала.

Если теплофизические характеристики напыляемых материалов (r_р, с_р, l_р) не зависят от температуры или принимаются усредненно на некотором температурном интервале, нелинейноее дифференциальное уравнение (5.1) сводится к линейному уравнению при нелинейных граничных условиях:

 

.                       (5.7)

 

Форма записи уравнений (5.2 - 5.5) не изменяется.

Для численного и численно-аналитического решения системы уравнений (5.1 - 5.5) с учетом (5.6, 5.7) использованы осевые профили температур Т_g(l) и скоростей u_g(l) плазмы аргона электрической мощностью 20 кВт (I_d = 500А, расход плазмообразующего газа 40 л/мин) и температурные зависимости ее плотности, теплопроводности и динамической вязкости m_g .

Коэффициент аэродинамического сопротивления С_d напыляемых частиц определен в соответствии со стандартной кривой С_d (Re), аппроксимированной в диапазоне значений Re» 0,1 - 400 степенной функцией вида

 

,

 

где k» 0,032; m = 0,75; Re – критерий Рейнолдса: .

Критерий Рейнолдса для частиц дисперсностью 10…100 мкм на участке их наиболее интенсивного нагрева и ускорения в плазменной струе аргона (L = 0 - 35 мм) изменяется в достаточно широких пределах – от 1 - 1,5 до 15 - 20.

Теплообмен между частицей и плазмой характеризуется критерием Нуссельта:

 

,

 

где  – теплопроводность плазмы,

Pr – критерий Прандтля.

В расчетах используют различные критериальные зависимости Nu(Re,Pr), записываемые, как правило, в несколько видоизмененной форме Фресслинга:

 

Nu = 2×к₁ + к₂f(Re,Pr),

 

где к₁ и к₂ – коэффициенты, учитывающие изменение условий теплообмена между частицей и газом в пограничном слое;

f(Re,Pr) – степенная функция, аргументами которой являются критерии Рейнолдса и Прандтля:

 

; ; ;

; ; ,

 

где с_g – теплоемкость плазмы.

Индексами “c” и “g” обозначены соответственно теплофизические характеристики плазмы при температуре поверхности частицы и температуре набегающего потока.

При поперечном обтекании цилиндров и сфер плазменными струями аргона температурой Т_g» 10000 - 12000°С при критерии Рейнолдса Re = 45 критерий Нуссельта Nu = 1,8 - 2,0. Критерий Нуссельта уменьшается с ростом температуры плазмы вследствие снижения ее плотности. В используемой программе значения функции Nu(Re) для  Re < 45 и Re > 45 определялись из уравнения:

 

,                                (5.8)

 

где Nu⁴⁵ – число Нуссельта при Re = 45.

Система уравнений (5.1, 5.3, 5.4, 5.5) может быть решена на ЭВМ численным методом. Выбор метода численного решения является важным этапом решения задачи. В настоящие время для решения задач математической физики используется четыре основных метода: метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ) и метод фиктивных областей (МФО).

Метод конечных разностей является исторически первым методом численного решения уравнений математической физики, он наиболее прост в постановке и реализации и широко используется для решения широкого круга практических задач. Однако в области его теоретического обоснования имеются трудности, связанные со сходимостью, аппроксимацией и оценкой методической погрешности. Поэтому с МКР при решении широкого круга задач математической физики конкурирует метод конечных элементов (МКЭ), возникший около 30 лет назад. Этот метод хорошо разработан в теоретическом плане, имеет несколько разновидностей и широко используется для численного моделирования нестационарных физических полей разнообразной природы в двух- и трехмерных областях.

Методы граничных элементов (МГЭ) и фиктивных областей являются относительно новыми, их интенсивная разработка началась около 20 лет назад, и по замыслу их создателей они должны служить универсальным инструментом для решения задач математической физики. Особенность МГЭ заключается в том, что решение плоской или объемной задачи сводится к решению этой же задачи на границе изучаемой области, это позволяет уменьшить на единицу размерность решаемой задачи и значительно сократить объем вычислений ввиду того, что решение плоской задачи сводится к одномерной, а объемной к плоской.

Метод фиктивных областей (МФО) сводит решение изучаемой задачи к корректировке надежного решения, ранее полученного для ближайшей стандартной области типа круга, шара, параллелепипеда и т.п.

Для решения нестационарных задач теплопроводности разработано несколько вариантов экономичных разностных схем. Одной из таких схем является схема Кранка-Николсона. При ее использовании решение уравнения теплопроводности (5.7) при граничном условии (5.5) сводится к последовательному выполнению достаточно простого приема, получившего наименование прогонки. Прогонка осуществляется сначала по одной, а затем по другой пространственной координате (по времени и по радиусу частицы). Предварительно плазменная струя разбивается на изотермические зоны, в пределах которых температура, скорость и теплофизические характеристики плазмы принимаются постоянными. Далее по разностной схеме рассчитывается изменение температурного поля в частицах в каждой изотермической зоне. Распределение температуры в частицах при их выходе из предыдущей изотермической зоны является начальным условием для решения системы уравнений (5.7, 5.3, 5.4, 5.5) в последующей изотермической зоне.

Время нахождения частиц в пределах каждой изотермической зоны определяется на основании зависимости скорости частиц от дистанции напыления u_р(L). В используемой программе зависимость скорости частиц от дистанции напыления определена численным интегрированием уравнения (5.2) по схеме Рунге - Кутта. Если исходное дифференциальное уравнение (5.2) записать в виде , вычисление координат очередной точки (x_i+1, y_i+1), исходя из уже известных координат предыдущей точки, осуществляется с использованием четырех вспомагательных значений функции y (k₁, k₂, k₃, k₄) по следующей схеме:

 

; ; ;

; ; .

 

Порядок выполнения работы и оформление результатов

 

1. Включить компьютер и загрузить приложение Mathcad Professional. Запустить программу для расчета температуры и скорости частиц при плазменном напылении.

2. В соответствии с выданным вариантом задания ввести свои исходные данные для решения системы уравнений движения и нагрева частиц порошков в плазменной струе. Предполагается, что напыляемые частицы имеют сферическую форму и движутся в приосевой области плазменной струи. Необходимо рассчитать температуру частиц на расстоянии 0,1r_р; 0,5r_р и 1,0r_р от их геометрического центра и сделать заключение о степени проплавления частиц (r_р – радиус частиц). Теплофизические характеристики материалов, необходимые для расчетов, представлены в табл. 5.1. Распределения скоростей и температур по оси плазменной струи и координаты ввода порошков в плазменную струю заданы в программе. В программе также произведена разбивка плазменной струи на изотермические зоны.

3. Построить графические зависимости, иллюстрирующие изменение скорости и температуры частиц по мере их удаления от места ввода в плазменную струю.

4. Сделать заключение о степени проплавления частиц различной дисперсности в плазменной струе. Проанализировать влияние теплоемкости, теплопроводности, плотности и дисперсности порошков на температуру нагрева и степень проплавления частиц.

 

Таблица 5.1