Самостоятельная работа

Тема: «Векторы в пространстве. Равенство векторов»

Теория

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считать началом, а какой – концом, называется вектором. Направление вектора от начала к концу отмечено стрелкой. Любая точка пространства может также рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления. Нулевой вектор обозначается .

Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина вектора обозначается так . Длина нулевого вектора считается равной нулю: .

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если два ненулевых вектора и коллинеарны и если при этом лучи АВ и СD сонаправлены, то векторы и называются сонаправленными , а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы и называются противоположно направленными . Нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Примеры

Пример 1: Измерения прямоугольного параллелепипеда АВСDEMKF таковы: АD=13 см, АВ=6 см, АE=10 см. Найдите длины векторов: СK, EM, AK, BC, EF, FK.

Решение: CK=AE,

EM=AB,

BC=AD,

EF=AD,

FK=AB,

Пример 2: Дан прямоугольный параллелепипед АВСDEMKF. Установить, какие из данных векторов равны

Решение:

Самостоятельная работа

1) Измерения прямоугольного параллелепипеда АВСDA₁B₁C₁D₁ таковы: DC=5 см, ВC=7 см, АA₁=11 см. Найдите длины векторов: BB₁, AB, D₁C₁, DB₁, AC₁, B₁C₁.

2) Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁. Установить, какие из данных векторов равны

Тема: «Операции над векторами. Разложение вектора»

Теория

Пусть даны два произвольных вектора и . Отложим от какой-нибудь точки А вектор , равный . Затем, от точки В отложим вектор , равный . Вектор называется суммой векторов и : . Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Оно может быть также сформулировано и в другой форме: для любых трех точек А, В и С имеет место равенство .

Для любых векторов справедливы равенства:

(переместительный закон)

(сочетательный закон)

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор. Вектор является противоположным вектору .

Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.

Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

Произведением ненулевого вектора на число называется такой вектор , длина которого равна , причем векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при . Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение вектора на число обозначается . Для любого числа и любого вектора векторы и коллинеарны. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Для любых векторов и любых чисел справедливы равенства:

(сочетательный закон)

(первый распределительный закон)

(второй распределительный закон)

Вектор является вектором, противоположным вектору , т.е. .

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Для сложения трех некомпланарных векторов используют правило параллелепипеда: