Алгебраические критерии устойчивости

13.2.1. Критерий устойчивости Рауса − Гурвица

Это алгебраический критерий, по которому условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающие коэффициенты уравнения системы. В разной форме этот критерий был предложен английским математиком Е. Раусом и затем швйцарским математиком А. Гурвицем в конце 18-го века. Приведем без доказательства критерий устойчивости в форме Гурвица.  

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:

Составим из коэффициентов этого многочлена определитель

a1	a3	a5	0	0	0
a0	a2	a4	a6	0	0
0	a1	a3	a5	0	0
0	a0	a2	a4	a6	0
0	0	a1	a3	a5	0
0	0	a0	a2	a4	a6

Определитель Гурвица имеет n строк и n столбцов. По диагонали определителя содержатся коэффициенты от а₁ до а_n, где n – порядок характеристического уравнения, в данном случае – 6-й порядок. Первая верхняя строка содержит все нечетные коэффициенты; вторая строка содержит все четные коэффициенты, начиная с а₀; третья строка получается из первой, а четвертая из второй сдвигом вправо на один элемент. В свободные места устанавливаются нули. Аналогично устанавливаются все ниже следующие строки.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1. Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными числами.

2. Все диагональные миноры определителя Гурвица должны быть положительными, включая и определитель Гурвица. 

Пример. Устойчива ли система, если ее характеристическое уравнение имеет вид:

 .

Первое условие выполняется – все коэффициенты положительные числа.

Определитель Гурвица

0,1	20	200			0		0
0,005	2,5	50			0		0
0	0,1	20			200		0
0	0,005	2,5		50			0
0	0	0,1		20			200

Минор второго порядка

0,1	20
0,005	2,5

Минор третьего порядка

0,1	20	200
0,005	2,5	50
0	0,1	20

Минор четвертого порядка

0,1	20	200			0
0,005	2,5	50			0
0	0,1	20			200
0	0,005	2,5		50

Необходимые и достаточные условия критерия Гурвица выполнены, система устойчива.