Основные законы и правила алгебры логики

В алгебре логике 8 законов

 

 

1. Переместительный (закон коммунитивности) – для сложения и умножения

 

Х₁^Х₂ = Х₂^Х₁             Х₁*Х₂ = Х₂ *Х₁

 

  2. Сочетательный    (закон ассоциативности) для сложения и умножения)

 

    (Х₁^Х₂)^Х₃=Х₁^(Х₂^Х₃)

    (Х₁*Х₂)*Х₃=Х₁(Х₂*Х₃)

 

3.  Распределителный  (закон дистрибутивности) – для (     ^)

 

1-й закон

 

(Х₁ ^ Х₂) *Х₃ = Х₁*Х₃ ^ Х₂*Х₃ правило раскрытия скобок

 

2-й закон

(Х₁^Х₂) ^Х₃ = (Х₁*Х₃) ^ (Х₂^Х₃) правило взятия вскобки

 

4. Тождества (закон товтологии)

 

Х^Х^Х^…..^Х = Х

Х*Х*Х*….*Х = Х

 

5. Повторения

                       

 Х*Х = 1

Логическое произведения любого высказывания и его отрицание всегда ложно

 

6. Закон исключенного третьего

Х^Х = 1

Логическая сумма любого высказывания и его отрицания всегда истина

 

7. Достаточного основания

1 ^ Х₁ ^ Х₂ ^ Х₃ = 1

Если в логической сумме высказывания хотябы одно истинно, то сложное высказывание истинно.

 

8. Двойное отрицания 

 

Х = Х

 

Основные правила алгебры логики

1. Старшинства операций Последовательность выполнения логических операций

 

- отрицание

-умножение

- сложение

2. Двойственности (де Моргана или инверсии)

     Х₁^Х₂ = Х₁*Х₂

     Х₁*Х₂ = Х₁^Х₂

Справедливо для n-переменных

 

1. Склеивание (по некоторой переменной)

F(X_1,X₂) = X₁*X₂^X₁*X₂ = [СОГЛАСНО ЗАКОНА ДИСТРИБУТИВНОСТИ]=

       =X₁(X₂^X₂) = [ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО] =X₁ («склеивание» по переменной Х₂)

 

      F(X_1,X₂) = (X1^X2) (X₁^X₂) = [закон дистрибутивности] =

      = X₁*X₁^X₁*X₂^X₁*X₂^X₂*X₂ =  X₁^X₁*X₂^X₁*X₂ = X₁^X₂ = X₁

                                                                  з-н противоречия           склеивание по Х₂   тождество

 

     

1. «Поглощение»

      

           F(Х_1,Х₂)=Х₁^Х₁*Х₂ = [дистрибутивный закон]=Х₁(1^Х₂)=[достаточного основания]= Х₁*1=Х₁

«поглощение произведения Х₁*Х₂ переменной Х₁