Взаимное расположение сферы и плоскости

РАЗДЕЛ 8. МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА

ТЕМА: Шар и сфера

Цель занятия: узнать, что такое шар и сфера, их элементы, форма их сечений, взаимное расположение плоскости и сферы, какая сфера называется касательной к сфере; научиться искать элементы сферы и шара, вычислять площадь сферы; научиться решать задачи, связанные с шаром и сферой

Порядок выполнения работы:

1) Изучить материал теоретический материал, составить конспект в тетради;

2) Выполнить тренировочные задания по материалу лекции (решить в тетради в режиме реального времени, и выслать фотографии или документ преподавателю на личную почту);

3) Выполнить контрольные задания (решить в тетради в режиме реального времени, и выслать фотографии или документ преподавателю на личную почту);

4) Выполнить домашнее задание (материалы выполнения домашнего задания высылаются не позднее следующего урока и высылаются преподавателю на личную почту).

Контакты преподавателя: Arina_Kozlova96@mail.ru; https://vk.com/rina1996

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные теоретические факты

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.

 

Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R

Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.

Определение

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Определение

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Сферу можно получить ещё одним способом - вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

Уравнение сферы

Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Пусть сфера имеет центром точку С (x₀; y₀; z₀) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:

МС=

Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС²=R², то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:

.

Это выражение называют уравнением сферырадиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

Взаимное расположение сферы и плоскости

Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.

1. Пусть d R. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.

2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.

3. Пусть d R. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Рассмотрим случай касания более подробно.

Определение

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Теорема (свойство касательной плоскости).

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема (признак касательной плоскости):

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Основные формулы

Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:

Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:

S=4πR² – площадь сферы.

S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.

Материалы видео-лекции, рекомендованные к просмотру: https://resh.edu.ru/subject/lesson/4034/main/22795/

Тренировочные задания (время выполнения - 15 мин)

Задание № 1. Для каждой сферы с заданными радиусами найдите площади. Впишите правильные ответы в соответствующие пропуски.

1) R=2; 2) ; 3)  4)

Задание № 2. Дан радиус сферы R= 30 см. Определи площадь поверхности сферы.

Задание № 3. Дана площадь поверхности сферы 100πсм². Определи диаметр сферы.

Задание № 4. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 см.

Задание № 5. Отрезок FB — диаметр сферы. Определи радиус сферы R и напиши уравнение сферы, если даны координаты точек F(4;0;4) и B(0;4;0).

Контрольные задания (время выполнения - 15 мин)

Задание № 1. Найдите значения A, B, C, D и запишите уравнение сферы радиуса R с центром в точке T, если T (–3; 5; –1), R =4.

(х + A)²+(y + B)²+(z + C)²= D

Задание № 2. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Задание № 3. Дано два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?