Определение тригонометрической функции углового аргумента

Определение тригонометрической функции числового аргумента

Ребята, мы знаем что такое синус, косинус, тангенс и котангенс.

Давайте посмотрим, можно ли через значения одних тригонометрических функций найти значения других тригонометрических функций?
Определим тригонометрическую функцию числового элемента, как: y=sin(t)

, y=cos(t), y=tg(t), y=ctg(t).

Вспомним основные формулы:
sin2(t)+cos2(t)=1. Кстати, как называется эта формула?

tg(t)=sin(t)cos(t), при t≠π2+πk.
ctg(t)=cos(t)sin(t), при t≠πk.

Давайте выведем новые формулы.

Тригонометрические тождества

Мы знаем основное тригонометрическое тождество: sin2(t)+cos2(t)=1.
Ребята, давайте обе части тождества разделим на cos2(t).
Получим: sin2(t)cos2(t)+cos2(t)cos2(t)=1cos2(t).
Преобразуем: (sin(t)cos(t))2+1=1cos2(t).
У нас получается тождество: tg2(t)+1=1cos2(t), при t≠π2+πk.

Теперь разделим обе части тождества на sin2(t).
Получим: sin2(t)sin2(t)+cos2(t)sin2(t)=1sin2(t).
Преобразуем: 1+(cos(t)sin(t))2=1sin2(t).
У нас получается новое тождество, которое стоит запомнить:
ctg2(t)+1=1sin2(t), при t≠πk.

Нам удалось получить две новых формулы. Запомните их.
Эти формулы используются, если по какому-то известному значению тригонометрической функции требуется вычислить значение другой функции.

 

Решение примеров на тригонометрические функции числового аргумента

Пример 1.

cos(t)=57, найти sin(t); tg(t); ctg(t) для всех t.

Решение:

sin2(t)+cos2(t)=1.
Тогда sin2(t)=1−cos2(t).
sin2(t)=1−(57)2=1−2549=49−2549=2449.
sin(t)=±√247=±2√67.
tg(t)=±√1cos2(t)−1=±√12549−1=±√4925−1=±√2425=±√245.
ctg(t)=±√1sin2(t)−1=±√12449−1=±√4924−1=±√2524=±5√24.

Пример 2.

tg(t)=512, найти sin(t); cos(t); ctg(t), при всех 0<t<π2.

Решение:
tg2(t)+1=1cos2(t).
Тогда 1cos2(t)=1+25144=169144.
Получаем, что cos2(t)=144169.
Тогда cos2(t)=±1213, но 0<t<π2.
Косинус в первой четверти положительный. Тогда cos(t)=1213.
Получаем: sin(t)=tg(t)∗cos(t)=512∗1213=513.
ctg(t)=1tg(t)=125.

Задачи для самостоятельного решения

1. tg(t)=−34, найти sin(t); cos(t); ctg(t), при всех π2<t<π.
2. сtg(t)=34, найти sin(t); cos(t); tg(t), при всех π<t<3π2.
3. sin(t)=57, найти cos(t); tg(t); ctg(t) для всех t.
4. cos(t)=1213, найти sin(t); tg(t); ctg(t) для всех t.

 

Урок 121 тригонометрические функции углового аргумента

Что будем изучать:
1. Вспомним геометрию.
2. Определение углового аргумента.
3. Градусная мера угла.
4. Радианная мера угла.
5. Что такое радиан?
6. Примеры и задачи для самостоятельного решения.

 

Повторение геометрии

 

Ребята, в наших функциях:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

Переменная t может принимать не только числовые значения, то есть быть числовым аргументом, но ее можно рассматривать и как меру угла – угловой аргумент.

Давайте вспомним геометрию!
Как мы определяли синус, косинус, тангенс, котангенс там?

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Определение тригонометрической функции углового аргумента

Давайте определим тригонометрические функции, как функции углового аргумента на числовой окружности:
С помощью числовой окружности и системы координат мы всегда с легкостью можем найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла:

Поместим вершину нашего угла α в центр окружности, т.е. в центр оси координат, и расположим одну из сторон так, чтобы она совпадала с положительным направлением оси абсцисс (ОА)
Тогда вторая сторона пересекает числовую окружность в точке М.

Ордината точки М: синус угла α
Абсцисса точки М: косинус угла α

Заметим, что длина дуги АМ составляет такую же часть единичной окружности что и наш угол α от 360 градусов: где t длина дуги АМ.

Градусная мера угла

1) Ребята мы получили формулу для определения градусный меры угла через длину дуги числовой окружности, давайте посмотрим внимательнее на нее:

Тогда запишем тригонометрические функции в виде:

Например:

Радианная мера углов

При вычисление градусной или радианной меры угла следует запомнить!:
Например:

Кстати! Обозначение рад. можно опускать!

Что такое радиан?

Дорогие друзья мы с вами с толкнулись с новым понятием - Радиан. Так что же это такое?

Существуют различные меры длины, времени, веса например: метр, километр, секунда, час, грамм, килограмм и другие. Так вот Радиан – эта одна из мер угла. Стоит рассматривать центральные углы, то есть расположенные в центре числовой окружности.

Угол в 1 градус – это центральный угол опирающийся на дугу равную 1/360 части длины окружности.

Угол в 1 радиан - это центральный угол опирающийся на дугу равную 1 в единичной окружности, а в произвольной окружности на дугу равную радиусу окружности.

Примеры:

Примеры перевода из градусной меры угла в радианную, и наоборот