Ответы на вопросы по теме «Теория множеств»

Скоропупова Софья 1П (121791)

1) Приведите примеры известных Вам множеств.

– множество букв русского алфавита;
– множество натуральных чисел;

2) Какие основные символы, используемые в теории множеств Вы знаете?

Знак принадлежности Є (A Є B – A принадлежит B)

3) Как можно задать множество?

Считают, что множество задано своими элементами, т.е. множество задано, если о любом объекте можно сказать: принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Задавать множество можно следующими способами:

а) Если множество конечно, то его можно задать перечислением всех его элементов.

б) Множество можно задать указанием характеристического свойства его элементов.

4) Какие множества называются равными?

 Множества a и b называются равными, если они состоят из 1 и тех же элементов.

5) Какое множество называют пустым?

 Пустое множество – множество, в котором нет элементов.

6) Какое множество является подмножеством другого множества? Множество является подмножеством множества , если каждый элемент множества принадлежит множеству . Иными словами, множество содержится во множестве :

 

 

7) Какие основные операции выполняются над множествами?

 Операции над множествами.

а) Пересечение множеств характеризуется логической связкой И и обозначается значком

Пересечением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит и множеству , и множеству . Грубо говоря, пересечение – это общая часть множеств:

:

Если у множеств нет одинаковых элементов, то их пересечение пусто.

б) Объединение множеств характеризуется логической связкой ИЛИ и обозначается значком

Объединением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит множеству или множеству :

:

Но множества, разумеется, могут и не пересекаться, как это имеет место быть с рациональными и иррациональными числами:

 

г) Разностью множеств и называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству и не принадлежит множеству :

.

8) Что такое универсальное множество (универсум)?

Универсальное множество – множество, содержащее все объекты и все множества.

9) Как строится диаграмма Элера-Венна?

Для того чтобы изобразить диаграммы Элера-Венна нужно построить прямоугольник, представляющий универсальное множество объединений, а внутри него – круги, изображающие множества.

10) Как определяется объединение множеств?

 Объединение множеств называется множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств.

11) Как определяется пересечение множеств?

Пересечение множеств – множества, которым принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем множествам.

12) Проиллюстрируйте с помощью диаграммы Эйлера-Венна объединение и пересечение трёх множеств.

() C                             (   ) C

       A        B                      A        B

 

               D                                       D

13) Как определяется разность множеств?

Разность двух множеств – операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество.

14) Как определяется дополнение множеств?

Дополнение множества – множество элементов первого множества, не принадлежащих второму.

15) Какими свойствами обладают операции объединения, пересечения множеств?

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами.

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

{\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C);}16) Как формируется закон же Моргана?

 Законы де Моргана

Отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний.

Отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний.

{\displaystyle A\cup A=A.}16

17) В чём состоят законы поглощения?

Законы поглощения.

При конъюнкции А и В и дизъюнкции с А получается выражение равное А.

A v (A & B)=A

A	B	A&B	Av(A&B)
1	0	0	1
1	1	1	1

 

При дизъюнкции А и В и конъюнкции с А выражение равно А.
A & (AvB)=A

A	B	AvB	A&(AvB)
1	0	1	1
1	1	1	1

 

18) Что называется кортежем и какие кортежи называются равными?

Кортеж – последовательность элементов или их совокупность, в которой каждый элемент занимает определенное место.

Разные кортежи – два кортежа составленные из элементов одного и того же множества.

19) Что такое: декартово произведение множеств; декартова степень некоторого множества А; бинарное отношение, заданное на множестве А?

 Если каждому элементу из множества A сопоставлен в соответствие определенный элемент из множества B, то возникает множество, составленное из пар элементов множеств A и B, - декартово произведение множеств.

Прямое (декартово) произведение одинаковых множеств называется декартовой степенью множества: если В = А, то А ´ В = А ´ А = А ².

Бинарное отношение, заданное на множестве А – любое соответствие из множества из множества А во множество А.

20) Какие существуют способы задания бинарного отношения?

 Бинарные отношения, определяемые на конечном множестве обычно задаются списком (пар элементов), бинарной матрицей, или ориентированным графом.

21) Как определяется композиция бинарных отношений?

 Композицией бинарных отношений и , заданных на множестве , называют отношение такое, что

 

22) Какие бинарные отношения называются транзитивными?

 Отношение называется транзитивным, если из и следует ".

23) Как определяется отношение эквивалентности?

Отношение эквивалентности – бинарное отношение между элементами данного множества, которое ведет себя сходно с отношением равенства.

24) Как определяется отношение порядка?

 Бинарное отношение a на множестве X называется отношением порядка, если оно транзитивно:

и антисимметрично:

25){\displaystyle \forall a,b\;(a\varphi b)\wedge (b\varphi a)\Rightarrow a=b} Какое упорядоченное множество называется частичным?

Множество {\displaystyle M}А, на котором задано отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным.