2020-05-21
174
Тема. Взаимное расположение прямых,
Прямой и плоскости,
Плоскостей в пространстве.
Признаки параллельности
Вопросы к теме:
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве.
Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
Признаки параллельности.
Аксиомы взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве.
Решение задач.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.
В каждой плоскости лежат какие-то точки пространства, однако не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости.
Аналогичное можно сказать о взаимном расположении точек и прямых в пространстве.
Если точка А лежит в плоскости ά, то будем писать Аϵά, если точка В не лежит в плоскости β то будем использовать обозначение В∉β. Аналогичные записи будем использовать для описания взаимного расположения точек и прямых, например, Аϵа и т.д.
Вопрос 1. Взаимное расположение прямых в пространстве
Перечислим четыре возможных случая взаимного расположения двух прямых в пространстве.
Две прямые в пространстве могут быть:
· совпадающими;
· пересекающимися;
· параллельными;
· скрещивающимися.
Три последних случая взаимного расположения прямых в пространстве и условные обозначения представлены на Рис.1.
Рис.1
Примерами для всех четырех случаев могут быть:
- совпадающие прямые - стены и пола или потолка и стены в помещении;
- пересекающиеся прямые – линии улиц на перекрестке;
- параллельные прямые – стороны одной стены помещения, рельсы железнодорожного полотна;
- скрещивающиеся прямые – эстакады автомобильных дорог, проложенные на разных уровнях; рельсы железнодорожного полотна, проходящие по мосту и автомобильная трасса, проходящая под мостом.
Замечание:
В случаях, когда две прямые совпадают, пересекаются или параллельны, через эти прямые можно провести плоскость.
Причем если две прямые пересекаются или параллельны, то такая плоскость будет единственная.
В случае же, когда две прямые являются скрещивающимися, подобной плоскости, проходящей через обе эти прямые, не существует.
Вопрос 2. Взаимное расположение точек, прямой
и плоскостей в пространстве
Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости (по количеству их общих точек):
· Прямая параллельна плоскости (Рис.2,а).
В этом случае прямая и плоскость не имеют общих точек.
Для прямой а и параллельной ей плоскости ά это обозначается так:
а ||ά.
· Прямая пересекает плоскость (Рис.2,б).
В этом случае прямая и плоскость имеют одну общую точку (точку пересечения).
Для прямой а, пересекающей плоскость ά в точке М, это обозначается так:
а∩ά = М.
· Прямая лежит в плоскости (Рис.2,в).
В этом случае прямая и плоскость имеют более одной общей точки.
Этот случай описан в аксиоме А2. На Рис.2,в показан случай, когда прямая а проходит через две различные точки М и Р, лежащие в плоскости ά.
Для прямой а, лежащей (принадлежащей) плоскости ά, а также для точек М и Р, это обозначается так:
аϵά; Мϵа; Рϵа; Мϵά; Рϵά.
Рис.2
Вопрос 3. Взаимное расположение плоскостей
В пространстве
Перечислим. три возможных случая взаимного расположения двух плоскостей пространстве. Две плоскости могут быть:
· совпадающими;
· пересекающимися;
· параллельными.
В связи с тем, что плоскость имеет только два измерения (длину и ширину), совпадающие плоскости принимаем за одну плоскость.
Пересекающимися называются плоскости, имеющие хотя бы одну общую точку, а значит, и общую прямую.
Изучаем вопрос 5 данного материала, в котором рассмотрена аксиома А3, для случая пересекающихся плоскостей.
Пересечение плоскостей ά и β, характеризующееся одной общей точкой, а значит, общей прямой обозначается так: ά∩β=а; Мϵа
Плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек, то есть плоскости не пересекаются.
Параллельность плоскостей ά и β обозначается так: а || β. На Рис.3 показано, как при решении задач можно изображать параллельные плоскости.
Рис.3
Вопрос 4. Признаки параллельности
Признак параллельности прямых в пространстве:
Признак параллельности прямой и плоскости:
