Предельным законом для какого распределения является распределение Пуассона? Какие значения может принимать случайная величина, распределенная по закону Пуассона?

Распределение Пуассона является предельным законом для распределения Бернулли.

Случайная величина может принимать значения от 0 до3.

 Плотность распределения и функция распределения равномерной случайной величины, ее числовые характеристики.

Часто встречаются случайные величины, которые могут принимать значения только в строго определенных границах некоторого отрезка [a;b], причем с содержательной точки зрения все значения внутри этого отрезка равновозможны. Например, минутная стрелка остановившихся механических чатов будет показывать какое-то значение; заранее, до поломки, неизвестно, какое именно, но точно известно, что оно будет в пределах от 0 до 60. Погрешность округления также относится к подобным величинам. О таких величинах говорят, что они распределены по равномерному закону на некотором отрезке [a;b].

Более строго, случайная величина Х с функцией распределения

   

F(x) =                 

 

(К данным значениям относятся условия:

 - к первому: x<a

 - ко второму:a x<b

 - к третьему: x b)

 

Называется распределенной по равномерному закону на отрезке [a;b]. Плотность распределения этой случайной величины получается путем дифференцирования:

                                               

f(x) =                

                                          

 Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения (^ - местами, где не получилось сделать верхний индекс, этим знаком обозначена степень)

                                                                        b

MX =     =   =  | =   

                                                                       a b

MX²  =   =    = | =    =

                                                                            a

 

DX = MX² – (MX)²  =   -   =   =

Среднее квадратическое отклонение

σX =   =

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:

P (α<X<β) =    =

 Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики.

Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

 

где  - положительное число

Найдем закон распределения

F(x) =   =   + λ   = 1- e^-λx

 

F(x) =

 

Интервал времени между двумя последовательными появлениями некоторого редкого события описывается случайной величиной, распределенной по показательному закону. Например, по показательному закону распределено время безотказной работы какого-либо устройства.

Найдем математическое ожидание и дисперсию.

                                                                                                                               ∞

MX =    = dx =   = λ(-   |  +  dx = 

                                                                                                                                ⁰

                                 ∞

-    | =

                                 0

Результат получен с использованием того факта, что

    ∞

xe^-λx  | = 0

    0

Для нахождения дисперсии найдем величину MX²

MX² =   =

Дважды интегрируя по частям получаем

MX² =

 

 Тогда DX = MX² – (MX)²  =

σX =

 

Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны.

Также легко определить и вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал.

P(a<X<b) = F(a) – F(b) = e^-λa – e^-λb

Показательное распределение широко используется в теории надежности.