Отличие относительной частоты события от его вероятности по предельной теореме Бернулли (по следствию из теоремы М-Л)

 

П.

Приведите классическое определение вероятности и укажите, при соблюдении каких условий оно применимо.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равно возможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Р(А)=m/n

Приведите формулу вероятности суммы двух совместных событий А и В. Пользуясь классическим определением вероятности, докажите эту формулу для опыта с конечным числом равновозможных элементарных исходов.

Знак суммы не нашла, простите, он пишется как ∩ только вверх ногами, поэтому писать его буду как он произносится ИЛИ

Формулу вероятности суммы двух совместных событий А и В:

Р(АилиВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А∩В)

Доказательство:

Конечная схема с равновозможными элементарными исходами определяется так. Имеется конечный набор элементарных событий Ω={w₁……w_n} и для каждого элементарного события w_i задана его вероятность р_i=1/n и

n

∑р_{i i} = 1

i=1                                                    

Событие А={w_{i 1}……w_{i m}}.

      m

Р(А)= ∑ р_{i I} где р_i=1/n 

     I=1

                      m

Получаем Р(А)= ∑ (1/n)_i

                      I=1

Пусть А={w_{i 1}……w_{i m}} и В= w_{j 1}……w_{j k}}.

      m                      k

Р(А)= ∑ р_{i i}    и Р(В)= ∑ р_{j к}

     i=1                     j

Событие С=АилиВ= {w_i1……w_im, w_{j1………….} w_jk, w_j1 …... w_im }-это математически записан рисунок

 Промежуток {_, w_j1 …... w_im }= Р(А ∩В) Получается

      m       k

Р(С)= ∑ р_{i i} + ∑ р_{j к} - Р(А ∩В)= Р(А)+ Р(В) - Р(А ∩В)

     i=1     j=1

 

Еще один способ доказательства без использования классической формулы, зато точно правильный

 

Доказательство. Событие В = (B\A) или (А∩В), при этом события В\А и А илиВ несовместны (так как (В\А) ∩(А∩В) = 0/), поэтому по аксиоме аддитивности Р {В) = Р {В\А) + Р{А илиВ }, значит, Р{В\А) = Р(В) - Р{А∩В). Далее, А или В = Аили (В\А), при этом события А и В\А также несовместны (так как А∩(В\А) = 0/), поэтому по аксиоме аддитивности Р{Аили В) = Р(А) + Р{В\А). Подставляя в последнюю формулу выражение для Р{В\А), окончательно получаем Р{А или В) = Р{А) + Р{ В) - Р(А∩В}, что и требовалось доказать.

Приведите пример какого-либо опыта с конечным числом элементарных исходов, в условиях которого нельзя исчислять вероятности событий по формуле классического определения вероятности.

Ограниченность классического определения вероятности, в частности, заложена в равновозможности исходов.

Рассмотрим, например, стрельбу по круговой мишени. Элементарными исходами здесь являются попадания в то или иное кольцо круговой мишени. Попадение в малый внутрен­ний круг оценивается в 10 очков, в окружающее его коль­цо — 9 очков, в следующее — 8 и т. д., в самое внешнее кольцо — одно очко, непопадание в круговую мишень — нуль очков. Итак, имеется одиннадцать элементарных событий w₁₀, w_{9 ……}w₀. Для каждого стрелка определенного класса имеют­ся свои определенные устойчивые шансы (вероятности) вы­бить за один выстрел то или иное число очков р₁₀, р₉..., p₀. Эти события, вообще говоря, неравновозможны. Например, для мастеров спорта, по-видимому, исключено событие w₀, поэтому р_о = 0, т. е. сразу исключается равновозможность.

Курсивом пояснение как решать такие задачи.

Конечная схема с неравновозможными исходами опреде­ляется так. Имеется конечный набор элементарных событий Ω={w₁……w_n} и для каждого элементарного события w_i задана его вероятность р_i=1/n и

n

∑р_{i i} = 1

i=1                                                 

Событие А={w_{i 1}……w_{i m}}.

      m

Р(А)= ∑ р_{i I}

     I=1

Эта схема является обобщением классической схемы.

Еще примеры:

Пример 1.2. Система контроля изделий состоит из двух неза­висимых проверок, выполняемых одновременно. Изделие принимает­ся, если оно прошло обе проверки. В результате каждой проверки бракованное изделие принимается с вероятностями альфа1 и альфа2 соответ­ственно. Найти вероятность принять бракованное изделие.

Пример 1.3. В условиях примера 1.2 заданы вероятности бетта1 и бетта2 отбраковать годное изделие в результате первой и второй проверок соответственно. Найти вероятность отбраковать годное изделие.