Плотность распределения и функция распределения нормальной случайной величины (распределение Гаусса), ее числовые характеристики

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

 

f(x) =  

 

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры MX и σX, входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

Найдем функцию распределения F(x).

 

F(x) =

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность

(х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате. 

Найдем математическое ожидание и дисперсию.

MX =   = *()dx =

z = (x-a)/σ

Поскольку   как интеграл по всей прямой от нечетной функции.

Таким образом, параметр а – математическое ожидание.

Найдем дисперсию нормальной случайной величины, снова применяя замену z = (x-a)/σ и интегрируя по частям:

DX = M(X-MX)² =  =   =

                                                                   ∞

 =    +  -∞

σ²  - это дисперсия, а σ – среднее квадратичное отклонение.

Случайная величина называется центрированной, если ее математическое ожидание равно 0. Для того, чтобы центрировать случайную величину, надо вычесть из нее математическое ожидание:

M(X – MX) = MX – MX = 0

Случайная величина называется нормированной, если ее дисперсия равна единице. Для того чтобы нормировать случайную величину, надо ее поделить на среднее квадратичное отклонение:

D(  = DX =   = 1

Центрированная и нормированная случайная величина называется стандартной.