Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости

Тема учебного занятия «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Для усвоения теории урока 89 – 90 Вам необходимо изучить Лекцию № 1.

1. Найдите ответы на вопросы:

В. Перпендикулярность прямых в пространстве. (опр.1, обозначение, расположение в пространстве)

В. Перпендикулярность прямой и плоскости. (опр. 2, обозначение)

В. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. (Т. № __)

В.Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.

2. После изучения теории выполните задания 1 – 3.

3. Выполненную работу сфотографируйте и отправьте на проверку.

 

Критерии оценки заданий: 7 – 6 баллов:  отметка «5»,

                                            5 баллов: отметка «4»,

                                            4 балла: отметка «3».

 

ЛЕКЦИЯ № 1.

1. Перпендикулярность прямой и плоскости

Теория:

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

В пространстве перпендикулярными называют не только пересекающиеся прямые, но и скрещивающиеся прямые, так как мы говорим об угле, который могут образовать эти прямые, если их поместить в одной плоскости.

 

Так же как и в плоскости, в пространстве перпендикулярные прямые a и b обозначают a⊥b.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая перпендикулярна этой прямой.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости.

Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается как a⊥α.

Через любую точку пространства перпендикулярно данной плоскости проходит прямая, притом только одна.

 

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство:

пусть a — прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости. Проведём прямую a через точку A пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая a перпендикулярна плоскости, то есть каждой прямой в этой плоскости.

1. Проведём произвольную прямую x через точку A в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой a. Проведём в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку A и пересекающую прямые b, c и x. Пусть точками пересечения будут B, C и X.

 

2. Отложим на прямой a от точки A в разные стороны равные отрезки AM и AN.

 

3. Треугольник MCN равнобедренный, так как отрезок AC является высотой по условию теоремы и медианой по построению (AM=AN). По той же причине треугольник MBN тоже равнобедренный.

 

4. Следовательно, треугольники MBC и NBC равны по трём сторонам.

5. Из равенства треугольников MBC и NBC следует равенство углов MBX и NBX и, следовательно, равенство треугольников MBX и NBX по двум сторонам и углу между ними.

 

6. Из равенства сторон MX и NX этих треугольников заключаем, что треугольник MXN равнобедренный. Поэтому его медиана XA является также высотой. А это и значит, что прямая x перпендикулярна a. По определению прямая a перпендикулярна плоскости.