Таблица простейших неопределенных интегралов

Литература

Баврин, И.И. Высшая математика: учеб. для студ. естественно-научных спец. пед. вузов/ И.И. Баврин. - М.: Издательский центр «Академия»., 2004.– 616 с.
Баврин, И.И. Математический анализ: учебник./ И.И. Баврин, М.: Высш. шк., 2006 – 327 с.
Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособ. для вузов. В 2 ч. Ч. 1. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Мир и Образование, 2003. – 304 с.

Теоретические положения

Опр. Пусть функция f определена на некотором промежутке, т.е. на отрезке, интервале или полуинтервале числовой оси. Функция F, определенная на этом же промежутке называется первообразной функции f, если выполнено (1.1) для каждого х из указанного промежутка.

Опр. Совокупность всех первообразных функции f, определенных на некотором промежутке <a,b>, называется неопределенным интегралом от функции f на этом промежутке и обозначается

Основные свойства неопределенного интеграла

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

, .

2. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Ecли k = const, тогда

Аддитивность интеграла относительно функций). Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций.

Таблица простейших неопределенных интегралов

Обращая формулы дифференцирования, получим


1.	,	,(m¹-1);
2.	,	,(x¹0);
3.	,	;
4.	,	,(a>0,a¹1);
5.	,	;
6.	,	;
7.	,	;
8.	,	;
9.	,
10.	,
11.	,
12.

1 Метод замены переменной

Пусть нужно найти неопределенный интеграл от непрерывной функции

Если обозначить , то справедлива формула:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

2 Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям имеет вид:

Можно выделить два класса интегралов, для которых применима эта формула:

I. II. .

В первом случае , остаток , во втором случае, наоборот, первый сомножитель обозначают , а остаток где – многочлен постоянной степени от .

Пример 4.

Формула интегрирования по частям хорошо срабатывает и в других случаях.

Пример 5.

Перенесем все интегралы в левую часть. Получим:

Задания для занятия

Вычислите неопределенные интегралы

1.1.	1.21.
1.2.	1.22.
1.3.	1.23.
1.4.	1.24.
1.5.	1.25.
1.6.	1.26.
1.7.	1.27.
1.8.	1.28.
1.9.	1.29.
1.10.	1.30.
1.11.	1.31.
1.12.	1.32.
1.13.	1.33.
1.14.	1.34.
1.15.	1.35.
1.16.	1.36.
1.17.	1.37.
1.18.	1.38.
1.19.	1.39.
1.20.