Шестнадцатеричная система счисления используется для компактного представления (на бумаге или на экране) двоичной информации, хранимой в памяти ЭВМ

 Алгоритмы перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Мы настолько привыкли к десятичному счету, что число в любой другой системе мало что нам говорит о соответст­вующем ему количестве. Например, что за величина 112₃? Чтобы понять «много это или мало», нужно перевести его в десятичную систему. Сделать это довольно просто.

Число 112₃ содержит в себе 2 единицы, 1 тройку и 1 девятку. Как и в десятичной системе, число можно пред­ставить в виде суммы произведений составляющих его цифр на соответствующие степени основания системы (в нашем примере — тройки).

112₃ =1х3² + 1х3¹ + 2х3°= 9 + 3 + 2 = 14₁₀

Следовательно, 112₃ = 14₁₀

Переведем двоичное число 101101₂ в десятичную систему счисления. Принцип тот же. Теперь в сумму надо подстав­лять степени двойки:

101101₂= 1 х 2⁵ + 0 х 2⁴+ 1 х 2³ + 1 х 2² + 0 х 2¹ + 1x2°= 32+ 8 + 4 + 1 = 45₁₀.

И еще один пример — с шестнадцатеричным числом:  

15FC₁₆ = 1 х 16³ + 5 х 16²+ 15 х 16¹ + 12 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628

 

Аналогично переводятся дробные числа.

101,11₂ = 1 х 2² + 0 х 2¹ + 1 х 2° + 1 х 2^-1 + 1 х 2^-2 =

= 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,75₁₀.

А как произвести обратный перевод из десятичной сис­темы в недесятичную (n≠10)? Для этого нужно суметь разложить десятичное число на слагаемые, содержащие сте­пени n. Например, при n = 2 (двоичная система):

15₁₀ = 8 + 4 + 2 + 1 = 1х2³ + 1х2²+ 1x2¹ + 1 = 1111₂

Эта задача уже посложнее, чем перевод в десятичную систему. Попробуйте, например, таким образом перевести в двоичную систему число 157. Конечно можно, но трудно!

Однако существует процедура, позволяющая легко выпол­нить такой перевод. Она состоит в том, что данное десятичное число делится с остатком на основание системы. Полученный остаток — это младший разряд искомого числа, а полученное частное снова делится с остатком, который равен второй спра­ва цифре и т.д. Так продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя (основания системы). Это частное — старшая цифра искомого числа.

Продемонстрируем этот метод на примере перевода числа 37₁₀ в двоичную систему. Здесь для обозначения цифр в записи числа используется символика: а₅а₄а₃а₂а₁а₀.      

Отсюда: 3710 - 1001012

 

Перевод правильной десятичной дроби в другую систему счисления производится путем последовательных умноже­ний на основание системы с выделением целой части произведений. Однако мы остановимся лишь на целых числах.

 Двоичная арифметика.

Вам хорошо знакомы правила выполнения арифметичес­ких операций с многозначными десятичными числами. В младших классах школы вы учились складывать, вычитать, умножать «столбиком» и делить «уголком». В конечном счете для выполнения вычислений нужно уметь складывать и умножать однозначные числа. Таблицу умножения деся­тичных чисел многие первоклассники заучивают долго и с большим трудом. Но вот если бы в школе изучали не десятич­ную, а двоичную арифметику, проблем бы не было ни у кого, и все ученики были бы отличниками! Сейчас вы убедитесь в том, что двоичная арифметика, действительно, очень проста.

С двоичной системой счисления вы уже знакомы. В ней всего две цифры: 0 и 1. Вот все варианты их сло­жения:

0 + 0 = 0,  0 + 1 = 1,     1 + 1 = 10.

Вам уже должно быть понятно, что 10₂ = 2₁₀ (напомним, что нижний индекс обозначает основание системы счисления и всегда записывается в десятичной системе). Ряд двоичных натуральных чисел легко записать, получая каждое следую­щее число путем прибавления единицы к предыдущему.

Таблица 1. Десятичные числа от 1 до 16 и равные им двоичные числа

 

«10»	«2»	«10»	«2»	«10»	«2»	«10»	«2»
1	1	5	101	9	1001	13	1101
2	10	6	110	10	1010	14	1110
3	11	7	111	11	1011	15	1111
4	100	8	1000	12	1100	16	10000

Из таблицы 1 видно, как быстро нарастает количество цифр в двоичных числах. Но этот недостаток двоичной сис­темы компенсируется простотой арифметики. Вот пример сложения столбиком двух многозначных двоичных чисел:

1 0 1 1 0 1 1 1 0 1

⁺ 1 1 1 0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1

Двоичная таблица умножения:

0 x 0 = 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1.

Пример:

111

^х11

111

⁺ 111

10101

 

Вопросы самоконтроля

 

1. В чем отличие позиционной и непозиционной систем счисления?
2. Что такое система счисления?
3. Что такое основание системы счисления?
4. Что такое непозиционная система счисления?
5. Что такое позиционная система счисления?
6. Из каких знаков состоит алфавит десятичной и двоичной систем?
7. Почему в вычислительной технике взята за основу двоичная система счисления?