2020-05-25
87
Далее ограничимся случаем уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
, (3.12)
где p и q – постоянные действительные числа.
Оказывается, что в этом случае можно найти решения без использования интегралов! Уравнение (3.12) содержит три слагаемых. Можно ли подобрать такую функцию y, чтобы все они были подобны друг другу? Если да, то можно надеяться на сокращения в (3.12) и упрощение структуры уравнения. Такой функцией является экспоненциальная: при дифференцировании она "переходит сама в себя". Будем искать частное решение уравнения (3.12) в виде 
. Тогда после подстановки в (3.12) получим С(k2+pk+q) 
. Сократив на экспоненциальный множитель, из алгебраического уравнения k2+pk+q=0 можно найти k, а значит и y.
Однородные уравнения
Опишем метод нахождения общего решения однородного уравнения (3.12).
1. Для уравнения (3.12) составляется так называемое характеристическое уравнение (
заменяем на k2, 
- на k, 
- на 
):
k2+pk+q=0 (3.13)
|
|
|
2. Находятся корни уравнения (3.13)
, 
3a. Если корни действительные и различные (k1¹k2), то линейно независимыми частными решениями, образующими фундаментальную систему, будут 
, 
, общее же решение уравнения (3.12) согласно теореме 3.1 примет вид
. (3.14)
3б. Если корни действительные и равные (k1=k2), то линейно независимые решения суть 
, 
, а общее решение есть
. (3.15)
3в. Если корни k1 и k2 комплексные, 
, 
, где 
, 
, то фундаментальная система решений уравнения (3.12) имеет вид 
, 
, а его общее решение есть
. (3.16)
Пример 3.3. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Составим характеристическое уравнение: 
. Найдем его корни: 
, 
. Общее решение есть 
.
Пример 3.4. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид 
. Его корни суть 
, 
. Общее решение есть 
.
