Метод вариации произвольных постоянных

Мы узнали, как решать неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка специального вида. Изложим теперь общий метод нахождения решений неоднородных линейных дифференциальных уравнений. Ограничимся, как и прежде, случаем уравнения второго порядка.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(3.20)

и соответствующее однородное уравнение

. (3.21)

Пусть и - два линейно независимых решения уравнения (3.21). Тогда общее решение этого уравнения есть

, (3.22)

где - произвольные постоянные.

Попробуем найти такие функции и , чтобы при замене на и на выражение (3.22) удовлетворяло бы нашему неоднородному уравнению (3.20).

Так как искомых функций и две, а мы наложили на них лишь одно требование: чтобы (3.22) было решением (3.20), то можно подчинить и еще одному условию. За такое условие выберем следующее: производная выражения (3.22) должна выглядеть так, как если бы и были постоянны, т.е. чтобы было

. (3.23)

Так как на самом деле , то условие (3.23) можно записать в виде . Тогда . Подставляя (3.22), (3.23) в (3.20) получим . Таким образом, и находятся из системы уравнений

, . (3.24)

Определитель этой алгебраической системы (проверьте, что он является определителем Вронского!) относительно неизвестных и отличен от нуля. Найдя и и проинтегрировав их, найдем и функции и .

Описанный метод называют методом Лагранжа (или методом вариации произвольных постоянных).

Пример 3.6.. Найти общее решение уравнения

(3.25)

методом Лагранжа.

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет общее решение . Решение уравнения (3.25) ищем в виде . Система (3.24) принимает вид

, .

(Упражнение. Определитель этой системы заведомо отличен от нуля. Почему?) Находим решение системы: , . Тогда , , и общее решение уравнения (3.25) есть .

[1] Напомним, что дифференциалом функции в точке называется произведение производной , вычисленное в этой точке , на произвольное приращение аргумента ( – независимый аргумент), т.е. . При достаточно малом приращение функции можно с хорошей степенью точности представить как ее дифференциал: .

В большинстве случаев удобнее находить дифференциал функции, чем приращение функции. Скажем, необходимо найти приращение объема шара радиуса R при увеличении радиуса шара на малую величину dR. Так как объем шара вычисляется как V=(4/3)pR³, то dV=4pR²dR и эту величину и можно принять за искомое приращение V.