Задача о колебаниях круглой мембраны. Использование функций Бесселя

Малые поперечные колебания мембраны описываются двумерным волновым уравнением, которое в цилиндрических координатах имеет вид (см. 2.7.22):

(7.5.1)

где – амплитуда колебаний, – время.

Рис. 7.5. К задаче о колебаниях мембраны.

В начальный момент времени заданы начальное отклонение и начальная скорость (рис. 7.5):

(7.5.2)

(7.5.3)

На границе мембрана жестко закреплена, то есть на границе амплитуда колебаний равна нулю

(7.5.4)

Потребуем от искомого решения ограниченности в точке

(7.5.5)

и периодичности по углу с периодом

(7.5.6)

Таким образом, поставлена первая начально-краевая задача о малых колебаниях мембраны с неоднородными начальными условиями (7.5.2), (7.5.3) и однородным граничным условием первого рода (7.5.4).

Для решения этой задачи используем метод разделения переменных – пространственных и времени

(7.5.7)

Подставляя (7.5.7) в (7.5.1) будем иметь равенство

разделив которое на получим

(7.5.8)

где – постоянная разделения; выбор ее знака обоснуем ниже.

Из (7.5.8) приходим к двум уравнениям: обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) относительно функции

(7.5.9)

и к уравнению в частных производных относительно

(7.5.10)

Подставим далее разделение переменных (7.5.7) в ограничения (7.5.4), (7.5.5), (7.5.6), приходим к следующим условиям для функции

(7.5.11)

(7.5.12)

(7.5.13)

Задача (7.5.10)–(7.5.13) относительно функции – задача на собственные функции и собственные значения поскольку всегда является решением однородного уравнения (7.5.10) (это решение не приемлемо в силу представления решения в форме (7.5.7), так как однако найдутся такие значения при которых Таким образом, задача (7.5.10)–(7.5.13) – задача Штурма-Лиувилля на собственные значения и собственные функции .

Будем решать задачу (7.5.10)–(7.5.13) также путем разделения переменных и

(7.5.14)

Подставляя (7.5.14) в уравнение (7.5.10) будем иметь

или, деля на и разделяя переменные, получим

где – постоянная разделения.

Отсюда

(7.5.15)

(7.5.16)

Подставляя далее (7.5.14) в (7.5.11)–(7.5.13), будем иметь

(7.5.17)

(7.5.18)

(7.5.19)

Таким образом, пришли к задачам (7.5.15), (7.5.19) для отыскания функции и (7.5.16)–(7.5.18) для функции

Поскольку в задаче (7.5.15), (7.5.19) нас интересуют такие значения , при которых существуют ненулевые ограниченные решения в соответствии с (7.5.14), то задача (7.5.15), (7.5.19) – задача Штурма-Лиувилля на собственные значения и собственные функции – ограниченные для и неограниченные для так как при фундаментальные решения уравнения (7.5.15) будут и а последнее неограничено при

Фундаментальная система решений уравнения (7.5.15) для с периодом (см. (7.5.19)) будет

(7.5.20)

и поскольку эти решения – периодические с периодом то может быть целым или нулем

(7.5.21)

Таким образом, собственные значения задачи (7.5.15), (7.5.19) определяются выражением

, (7.5.22)

а соответствующие им собственные функции имеют вид:

(7.5.23)

Задача (7.5.16)–(7.5.18) с уже известными является также задачей Штурма-Лиувилля, при решении которой требуется определить собственные значения и соответствующие им собственные функции

Уравнение (7.5.16) с совпадает с уравнением (7.4.1) и заменой приводится к уравнению Бесселя

(7.5.24)

Общим решением уравнения (7.5.24) будет линейная комбинация функций Бесселя первого и второго рода порядка

(7.5.25)

Поскольку функция Неймана не ограничена при то в (7.5.25) на основании (7.5.18) полагаем

В этом случае

(7.5.26)

Подставляя (7.5.26) в граничное условие (7.5.17), получаем уравнение

(7.5.27)

определяющее собственные значения задачи (7.5.16)–(7.5.18)

(7.5.28)

где – корни функции Бесселя первого рода -го порядка

Собственные функции соответствующие собственным значениям (7.5.28), имеют вид

(7.5.29)

В результате собственные функции задачи (7.5.10)–(7.5.13) в соответствии с (7.5.14) будут

(7.5.30)

Таким образом, каждому собственному значению соответствуют две собственные функции

(7.5.31)

В рассмотренных ранее задачах каждому собственному значению соответствовала одна собственная функция. Кроме этого, если бы перед постоянной разделения в (7.5.8) был выбран знак «плюс», то вместо уравнения (7.5.27) мы получили бы уравнение которое не имеет вещественных корней, так как модифицированная функция Бесселя положительна на положительной полуоси то есть график функции не пересекает оси абсцисс (см. рис. 7.3).

Перейдем к решению уравнения (7.5.9) с уже известными тогда

(7.5.32)

В результате представления (7.5.7) решения уравнения (7.5.1) с учетом (7.5.31), (7.5.32) будут иметь вид:

(7.5.33)

где и определяются равенствами (7.5.31).

В силу линейности и однородности уравнения (7.5.1) сумма частных решений (7.5.33) по количеству собственных функций также будет решением, причем общим решением.

(7.5.34)

Произвольные постоянные определим путем подстановки (7.5.34) в начальные условия (7.5.2), (7.5.3) при получим

(7.5.35)

(7.5.36)

Покажем, что функции попарно ортогональны в круге с весом для различных значений и :

Аналогичный результат справедлив и для функций то есть они также попарно ортогональны в круге и имеют ту же самую норму (5.7.37)

(7.5.38)

Легко убедиться в ортогональности функций и в круге между собой. Действительно,

(7.5.39)

так как функции и ортогональны на отрезке как при так и при

Таким образом, выражения (7.5.35) и (7.5.36) представляют собой разложения в ряды известных функций по ортогональным функциям.

Учитывая это, умножим (7.5.35), (7.5.36) на и проинтегрируем по кругу – произвольные натуральные числа), получим

или переобозначая получаем коэффициенты и

Учитывая (7.5.31) и (7.5.37), отсюда имеем

(7.5.40)

(7.5.41)

В (7.5.40), (7.5.41) при и при

Аналогично, умножая (7.5.35), (7.5.36) на интегрируя по кругу и переобозначая индексы получим

(7.5.42)

(7.5.43)

В коэффициентах (7.5.40)–(7.5.43) причем при для всех

Итак, ряд (7.5.34) с коэффициентами (7.5.40)–(7.5.43) является решением задачи (7.5.1)–(7.5.6).

Полученное решение (7.5.34), (7.5.40)–(7.5.43) довольно громоздко, поэтому в заключение этого параграфа рассмотрим случай, когда функции не зависят от (осесимметричная задача).