Задача о распространении теплоты в цилиндре конечных размеров. Использование функций Бесселя

Пусть в круглом цилиндре высотой и радиусом поддерживается стационарное температурное поле где – цилиндрическая система координат. На основаниях цилиндра распределение температуры задано осесимметрично и одинаково (рис. 7.6)

Рис. 7.6. К задаче теплопроводности в цилиндре конечных размеров.

(7.6.1)

На боковой поверхности цилиндра распределение температур также задано осесимметрично и симметрично относительно плоскости

(7.6.2)

В условиях отсутствия источников стационарное распределение теплоты описывается уравнением Лапласа (2.2.1) (отсутствует производная по времени ), которое в цилиндрической системе координат имеет вид (2.7.20):

(7.6.3)

Физически ясно, что поскольку распределение температуры на торцах и боковой поверхности цилиндра осесимметрично и симметрично относительно плоскости , то оно будет обладать теми же свойствами и внутри цилиндра, то есть производная тогда уравнение (7.6.3) для определения функции имеет вид:

(7.6.4)

На границах цилиндра заданы граничные условия (7.6.1), (7.6.2) в виде

(7.6.5)

(7.6.6)

а внутри цилиндра задаются условия четности

(7.6.7)

Кроме этого, в точке задается условие ограниченности функции

(7.6.8)

Таким образом, поставлена первая краевая задача (7.6.4)–(7.6.8) для уравнения Лапласа в двумерной цилиндрической системе координат для ограниченного цилиндра.

Поскольку задача содержит неоднородные краевые условия, применим к ее решению метод редукции сведения к более простым задачам. С этой целью представим функцию в виде суммы

(7.6.9)

Подставляя (7.6.9) в задачу (7.6.4)–(7.6.8), приходим к системе

из которой выделяется задача для функции с однородным граничным условием на боковой поверхности цилиндра и неоднородным граничным условием на торцах (подчеркнута)

(7.6.10)

(7.6.11)

(7.6.12)

(7.6.13)

(7.6.14)

и задача для функции с неоднородным граничным условием на боковой поверхности цилиндра и неоднородным – на торцах (остальные члены)

(7.6.15)

(7.6.16)

(7.6.17)

(7.6.18)

(7.6.19)

Для решения задачи (7.6.10)–(7.6.14) используем метод разделения переменных

(7.6.20)

Подставляя (7.6.20) в (7.6.10), приходим к равенству

деля которое на получим

где знак обоснован ниже. Из последних равенств получаем следующие два обыкновенных дифференциальных уравнения (ОДУ)

(7.6.21)

(7.6.22)

Подставляя (7.6.20) в (7.6.12) (полагая в противном случае тогда в (7.6.20) что не приемлемо), получим

(7.6.23)

то есть получили граничное условие для ОДУ (7.6.22).

Второе граничное условие для этого ОДУ получим из условия ограниченности решения при то есть из условия (7.6.14)

(7.6.24)

Задача (7.6.22)–(7.6.24) всегда имеет нулевое решение, однако существуют такие которым соответствуют ненулевые решения и следовательно задача (7.6.22)–(7.6.24) – задача на собственные значения и собственные функции (задача Штурма-Лиувилля).

Перепишем уравнение (7.6.22) в форме

и сделав замену

(7.6.25)

получим уравнение Бесселя

(7.6.26)

с нулевым индексом

Общим решением его будет

(7.6.27)

Поскольку функция Неймана не ограничена при то в соответствии с условием ограниченности (7.6.24) полагаем в (7.6.27)

Таким образом,

(7.6.28)

где – функция Бесселя первого рода нулевого порядка

Подставляя (7.6.28) в граничное условие (7.6.23), получим

(7.6.29)

Поскольку (в противном случае и из (7.6.20), что не приемлемо), то

(7.6.30)

откуда получаем

(7.6.31)

где – корни уравнения (7.6.30).

Если бы при разделении переменных перед был поставлен знак «плюс», то мы пришли бы вместо уравнения (7.6.30) к уравнению

(7.6.32)

где – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Так как всюду на полуоси то график ее не пересекает оси абсцисс и следовательно корни отсутствуют.

Таким образом, из (7.6.28) и (7.6.31) собственными функциями задачи (7.6.22)–(7.6.24), соответствующие собственным значениям (7.6.31) с точностью до постоянной, будут

(7.6.33)