Основные тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

sin2α+cos2α=1sin2⁡α+cos2⁡α=1

tgα=sinαcosα,ctgα=cosαsinαtgα=sin⁡αcos⁡α,ctgα=cos⁡αsin⁡α

tgα⋅ctgα=1tgα⋅ctgα=1

Зависимость между синусом и косинусом

sin2α+cos2α=1sin2⁡α+cos2⁡α=1

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

tgα=sinαcosα,ctgα=cosαsinαtgα=sin⁡αcos⁡α,ctgα=cos⁡αsin⁡α

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой yx=sinαcosαyx=sin⁡αcos⁡α, а отношение xy=cosαsinαxy=cos⁡αsin⁡α — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов αα, при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества tgα=sinαcosαtgα=sin⁡αcos⁡α, ctgα=cosαsinαctgα=cos⁡αsin⁡α.

Например: tgα=sinαcosαtgα=sin⁡αcos⁡α является справедливой для углов αα, которые отличны от π2+πzπ2+πz, а ctgα=cosαsinαctgα=cos⁡αsin⁡α — для угла αα, отличного от πzπz, zz — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

tgα⋅ctgα=1tgα⋅ctgα=1

Данное тождество справедливо только для таких углов αα, которые отличны от π2zπ2z. Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tgα=yxtgα=yx, а ctgα=xyctgα=xy. Отсюда следует, что tgα⋅ctgα=yx⋅xy=1tgα⋅ctgα=yx⋅xy=1. Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

tg2α+1=1cos2αtg2α+1=1cos2⁡α — сумма квадрата тангенса угла αα и αα, отличных от π2+πzπ2+πz.

1+ctg2α=1sin2α1+ctg2α=1sin2⁡α — сумма αα, равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого αα, отличного от πzπz.

ТРИГОНОМЕТРИЯМАТЕМАТИКА ТРИГОНОМЕТРИЯ ФОРМУЛЫ ТЕОРИЯ

Найдите sinαsinα и tgαtgα, если cosα=−12cosα =−12 и π2<α<π π2<α<π;

Функции sinαsin⁡α и cosαcos⁡α связывает формула sin2α+cos2α=1sin2⁡α+cos2⁡α=1. Подставив в эту формулу cosα=−12cos⁡α=−12, получим:

sin2α+(−12)2=1sin2⁡α+(−12)2=1

Это уравнение имеет 2 решения:

sinα=±1−14−−−−−√=±3–√2sin⁡α=±1−14=±32

По условию π2<α<ππ2<α<π. Во второй четверти синус положителен, поэтому sinα=3–√2sin⁡α=32.

Для того, чтобы найти tgαtgα, воспользуемся формулой tgα=sinαcosαtgα=sin⁡αcos⁡α. Соответствующие величины нам известны.

tgα=3–√2:12=3–√tgα=32:12=3

уровень8 класспредметматематикасложностьпростая

Найдите cosαcos⁡α и ctgαctgα, если sinα=3–√2sin⁡α=32 и π2<α<ππ2<α<π.

Подставив в формулу sin2α+cos2α=1sin2⁡α+cos2⁡α=1 данное по условию число sinα=3–√2sin⁡α=32, получаем (3–√2)2+cos2α=1(32)2+cos2⁡α=1. Это уравнение имеет два решения cosα=±1−34−−−−−√=±14−−√cos⁡α=±1−34=±14.

По условию π2<α<ππ2<α<π. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому cosα=−14−−√=−12cos⁡α=−14=−12.

Для того, чтобы найти ctgαctgα, воспользуемся формулой ctgα=cosαsinαctgα=cos⁡αsin⁡α. Соответствующие величины нам известны.

ctgα=−12:3–√2=−13–√ctgα=−12:32=−13.

Любой угол измеряется либо в градусной мере измерения (единица измерения – градус) либо в радианной (единица измерения – радиан). Один дуговой градус – это 1 360 часть окружности. Один угловой градус – это центральный угол, опирающийся на дуговой градус. Радианная мера угла – это отношение длины дуги к радиусу этой дуги. Радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, равную длине радиуса этой дуги. Окружность содержит 2p радиан.

46p 9; 2) 5p 8; 4) 7p 12; 6) 11p 12; 8) 47p 9. Для произвольного угла Основные тригонометрические тождества O r O Rr O a Rr O A a Rr O 180 2,1 A p × = = 17 2

определенного радиуса, то любому центральному углу α окружности соответствует дуга AB. Зафиксируем такой центральный угол, для которого длина дуги AB будет равна радиусу