Геометрический смысл производной

Понятие производной

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при (при условии, что этот предел существует).

Производная обозначается или

Итак, по определению, .

Нахождение производной называется дифференцированием функции.

Исходя из определения, составить, опираясь на рассуждения студентов, алгоритм отыскания производной.

Пусть функция у = f (x) определена в точке х₀ и во всех точках, достаточно близких в точке х₀, т.е. в некоторой окрестности точки х₀. тогда выберем приращение аргумента ∆х такое, что х₀+ ∆х не выходит за пределы этой окрестности. Тогда составим и вычислим предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии ∆х→ 0. Если этот предел имеет конечное значение, то он называется производной функции f (x) в точке х₀, т.е.

Для производной используются также другие обозначения:

Теорема: если функция у = f (x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке (обратное утверждение в общем случае неверно).

Геометрический смысл производной функции f (x) в точке х₀ состоит в том. Что она равна тангенсу угла наклона (т.е. угловому коэффициенту) касательной, проведенной в этой же точке.

Понятие производной впервые ввели: Ньютон, исходя из задач механики, и Лейбниц, исходя из геометрических построений, которые мы только что рассмотрели.

Уравнение касательной.

Касательная проходит через точку с координатами (х₀; f(х₀)) и имеет угловой коэффициент , тогда получим следующее уравнение касательной:

Уравнение нормали к кривой.

Нормалью к кривой будем называть прямую линию, проходящую через точку касания перпендикулярно касательной (смотри рис.1).

Нормаль проходит через ту же самую точку с координатами (х₀; f(х₀)), угловой коэффициент нормали: . Получим уравнение:

Геометрический смысл производной.

Обозначим угол наклона секущей через β. Тогда: .

Устремим ∆х к нулю, тогда секущая превратиться в касательную, проведенную к кривой в точке х₀. угол наклона касательной обозначим через a.

Получим:

∆х→ 0

Пример1. Используя определение производной, найти производную функции в точке . Решение. Придавая аргументу в точке приращения , найдем соответствующее приращение функции: