Вычисление производных

Основные формулы дифференцирования:

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.

Правила дифференцирования:1)

2)

3)

4)

5) правило дифференцирования сложной функции: , тогда: . Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по ее аргументу на производную внутренней функции.

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент каса­тельной к графику функции y = f(x) в точке x, т. е. y ^/ = tg a. Производная есть скорость изменения функции в точке x.

Пример 2. Используя правила и формулы дифференцирования, найти производные функции: .

Решение: .

Пример 3. Используя правила и формулы дифференцирования, найти производные функции:

Решение.  

Пример 4. Вычислить производную функции y=(3x³-2x+1)×sin x.

Решение. По правилу 3, y'=(3x³-2x+1)'×sin x + (3x³-2x+1)×(sin x)' =
= (9x²-2)sin x + (3x³-2x+1)cos x.

Пример 5. Найти y', y = tg x + .

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y'=(tgx + )' = (tgx)' + ()' = +  = .

Пример 6. Найти производную сложной функции y = , u=x⁴ +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y'_x =y '_u u'_x =()'_u(x⁴ +1)'_x =(2u + . Так как u=x⁴ +1,то
(2 x⁴ +2+ .

Пример 7. Найти производную функции y= .

Решение. Представим функцию y=  в виде суперпозиции двух функций: y = e^u и u = x². Имеем: y'_x =y '_u u'_x = (e^u)'_u(x²)'_x = e^u ×2x. Подставляя x² вместо u, получим y=2x .

Пример 8. Найти производную функции y=ln sin x.

Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y' = (ln u)'_u(sin x)'_x= .

Индивидуальные домашние задания

Вариант№ 1 Найти производную функции:	Вариант№ 5 Найти производную функции:
Вариант№ 2 Найти производную функции:	Вариант№6 Найти производную функции:
Вариант№ 3 Найти производную функции:	Вариант№ 7 Найти производную функции:
Вариант№4 Найти производную функции:	Вариант№ 8 Найти производную функции: