Окружность, описанная вокруг многоугольника

В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ABC.

Решение.

Построим OA и OC радиусы. Центральный угол AOC равен 360°:8 = 45°. Угол ABC — вписанный и опирается на ту же дугу, поэтому он равен 45°:2 = 22,5°.

Ответ: 22,5.

В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ABC.

Решение.

Угол ABC — вписанный и опирается на диаметр AC. Таким образом, ∠ ABC = 90°.

Ответ: 90.

3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение.

Воспользуемся теоремой косинусов:

(здесь a и b — боковые стороны равнобедренного треугольника, c — основание.

Диаметр описанной окружности найдем по обобщенной теореме синусов:

Ответ: 8.

Примечание.

Вместо того, чтобы искать основание треугольника, можно было найти угол при основании. Действительно, сумма углов при основании данного равнобедренного треугольника равна 60°. Эти углы равны, поэтому каждый из них равен 30°. Применяя обобщенную теорему синусов для боковой стороны и противолежащего ей угла, получаем:

4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно, углы при основании равны (180° − 120°)/2 = 30°. По теореме синусов:

Ответ: 10.

Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠ ABC = 177°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол BOC — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Углы BAC вписанный, он равен половине дуги, на которую он опирается. Поскольку эти углы опираются на одну и ту же дугу, ∠ BOC = 2∠ BAC. Сумма углов треугольника равна 180°. Треугольник ABC — равнобедренный, углы при его основании равны, поэтому Следовательно, угол BОC = 3°.

Ответ: 3.

Примечание.

Внимательный читатель заметит, что угол В тупой, поэтому центр окружности лежит вне треугольника. Очевидно, что это не влияет на справедливость вышеприведенного решения — задачу можно решить и вовсе без рисунка. Поэтому мы не стали менять тот рисунок, который был дан авторами задания.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ABC — вписанный, опирается на дугу ADC, поэтому величина дуги ADC равна 2 · 70° = 140°. Угол CAD — вписанный, опирается на дугу CD, поэтому величина дуги CD равна 2 · 49° = 98°. Угол ABD — вписанный, опирается на дугу AD, поэтому ∠ ABD = ∪ AD /2 = (∪ ADC − ∪ CD)/2 = (140° − 98°)/2 = 21°.

Ответ: 21.

7. Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 7.

Решение.

Пусть и соответственно радиус и диаметр окружности, — сторона квадрата. Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности. Найдём площадь квадрата:

Ответ: 196.

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение.

Пусть a — сторона квадрата. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен

Тогда сторона квадрата равна

Ответ: 32.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 153°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB является вписанным, а угол AOB — центральным. Таким образом,