Приведём другое решение

Найдём угол OKM: OKM = 90° − 83° = 7°. Треугольник OMK — равнобедренный, поэтому угол OMK равен углу OKM и равен 7°

8. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 20, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 10.

Решение.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, стороны и равны как радиусы окружностей, — общая, следовательно, треугольники и равны. Откуда Аналогично, равны треугольники и откуда Рассмотрим треугольник найдём по теореме Пифагора:

 

 

Рассмотрим треугольник он прямоугольный, из теоремы Пифагора найдём

 

 

Таким образом,

 

Ответ: 48.

9. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 12.

Решение.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, стороны и равны как радиусы окружностей, — общая, следовательно, треугольники и равны. Откуда Аналогично, равны треугольники и откуда Рассмотрим треугольник найдём по теореме Пифагора:

 

 

Рассмотрим треугольник он прямоугольный, из теоремы Пифагора найдём

 

 

Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды равно 9.

 

Ответ: 9.

10. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠ AOB = 66°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги.

Решение.

Пусть длина большей дуги равна Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение:

 

 

Ответ: 441.

11.

Отрезок AB = 40 касается окружности радиуса 75 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

Решение.

Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

 

 

Найдём

 

Ответ: 10.

12. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

Решение.

Проведём радиус в точку касания. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

 

 

Ответ: 40.

13.

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Введём обозначение, как показано на рисунке. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны, поэтому следовательно, треугольник — равнобедренный. Откуда Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, значит, дуга равна 108°. Угол AOB — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, равен 108°. Рассмотрим треугольник AOB, он равнобедренный, следовательно,

 

Ответ: 36.

14.

Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠ C, если ∠ A = 44°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ABC — прямой, так как он вписанный и опирается на диаметр. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный, а

 

Ответ: 46.

15. Окружность вписана в квадрат. Найдите площадь квадрата.

Решение.

Сторона квадрата равна диаметру вписанной в него окружности, значит, площадь данного квадрата равна:

 

 

Ответ: 6084.

16.

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

Решение.

Проведём радиусы и в точки касания. Получили два прямоугольных треугольника, катет где — радиус окружности, гипотенуза этих двух прямоугольных треугольников — общая, следовательно, эти треугольники равны. То есть, имеется равенство углов

 

 

Теперь из треугольника найдём радиус

 

 

Ответ: 4.

17. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 7,5, а AB = 2.

Решение.

Пусть О — центр окружности. Радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому треугольник OBA — прямоугольный. Найдём OA по теореме Пифагора:

 

 

Следовательно, длина стороны равна

 

Ответ: 8.

18.

Касательные в точках и к окружности с центром пересекаются под углом 76°. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Введём обозначение, как показано на рисунке. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны, поэтому следовательно, треугольник — равнобедренный. Откуда Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, значит, дуга равна 104°. Угол AOB — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, равен 104°. Рассмотрим треугольник AOB, он равнобедренный, следовательно,

 

Ответ: 38.

19.

К окружности с центром в точке проведены касательная и секущая . Найдите радиус окружности, если , .

Решение.

Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB: по теореме Пифагора равен 75.

 

Ответ: 75.

20.

На отрезке выбрана точка так, что и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки к этой окружности.

Решение.

Проведём радиус в точку касания. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

 

 

Ответ: 63.

21.

Отрезок касается окружности радиуса 24 с центром в точке . Окружность пересекает отрезок в точке . Найдите .

Решение.

Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

 

 

Найдём

 

Ответ: 16.

22.

На отрезке выбрана точка так, что и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки к этой окружности.

Решение.

Проведём радиус в точку касания. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

 

 

Ответ: 8.

23.

К окружности с центром в точке проведены касательная и секущая . Найдите радиус окружности, если , .

Решение.

Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB: по теореме Пифагора равен см.

 

Ответ: 72.

24.

Отрезок касается окружности радиуса 54 с центром в точке . Окружность пересекает отрезок в точке . Найдите .

Решение.

Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

 

 

Найдём

 

Ответ: 36.

25. На отрезке выбрана точка так, что и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки к этой окружности.

Решение.

Проведём радиус в точку касания. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

 

 

Ответ: 45.

26.

К окружности с центром в точке проведены касательная и секущая . Найдите радиус окружности, если ,

Решение.

Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB: по теореме Пифагора равен см.

 

Ответ: 24.

27. На отрезке выбрана точка так, что и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки к этой окружности.

Решение.

Проведём радиус в точку касания. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

 

 

Ответ: 24.

28. На отрезке выбрана точка так, что и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки к этой окружности.

Решение.

Проведём радиус в точку касания. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

 

 

Ответ: 33.

29. На отрезке выбрана точка так, что и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки к этой окружности.

Решение.

Проведём радиус в точку касания. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

 

 

Ответ: 11.

30. На отрезке выбрана точка так, что и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки к этой окружности.

Решение.

Проведём радиус в точку касания. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

 

 

Ответ: 14.

31.

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 16. Найдите высоту этой трапеции.

Решение.

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине высоты трапеции. Поэтому высота равна 32.

 

Ответ: 32.

32.

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 72°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть точка O — центр окружности. Угол AOB — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 72°. Треугольник AOB — равнобедренный. Значит,

Таким образом, поскольку угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 54° = 36°.

 

Ответ: 36.