Самостоятельная работа

Выигрышные стратегии.

№ 1. Игры-шутки. Часть 1. Простые задачи.

Игры и выигрышные стратегии – это особый вид математических задач. Правила в них оговариваются в условии, а в игре обычно участвуют двое. Нужно продумать и выстроить стратегию так, чтобы выиграть даже при неблагоприятном стечении обстоятельств. Задачи ещё называют алгоритмическими: в них нужно найти строгий алгоритм для достижения выигрыша.

 

Есть большое количество различных видов стратегий, мы рассмотрим некоторые из них. Самыми простыми являются игры-шутки, где результат выигрыша зависит только от позиции игрока, а вовсе не от его умения играть.

 

На первый взгляд, как кажется, стратегии в таких играх не требуются. Но всегда бывает важно не попасть впросак.

Вам могут предложить игру, в которой невозможно выиграть, а вы в нее согласитесь играть. И цена проигрыша может быть высока. Поэтому умение и привычка просчитывать все заранее могут пригодиться, хотя бы для этого.

 

Задача 1.

 

В куче лежит 25 камней. Двое берут по одному камню. Кто выиграет: первый или второй?

Решение.

Легко понять, что первый игрок возьмет все нечетные, а второй – все четные камни. Выиграет 1-й, так как 25 – это нечетное число.

 

Здесь неизменной величиной остается четность. В задачах такого типа вообще нужно пристальное внимание уделять таким неизменным величинам. Кстати, в математике это называется инвариантом.

И чаще всего инвариантом является именно четность.

Задача 2.

Двое ломают шоколадку 5х7. За один ход можно сделать один разлом по прямой между дольками. Выиграет тот, кто сделает последний разлом.

 

Решение.

Сначала нужно понять, сколько будет разломов. Долек будет 5·7=35. А разломов на 1 меньше, то есть 34. И опять в роли инварианта выступает четность. Первый сделает все нечетные разломы, а второй – четные. Выиграет 2-й, потому что 34 – четное число.

Маленькая поправка: почему 34 разлома. Кто знает, может не читать.

 

Мы можем разломать разными способами. Можно разломать на длинные полоски: 4 разлома. И каждую из 5 полосок разломать на дольки, сделав по 6 разломов. 

5·6 + 4 = 34

Можно разломать на короткие полоски, сделав 6 разломов. И потом каждую из 7 полосок разломать на части, сделав по 4 разлома.

7·4 + 6 = 34.

 

Задача3.  

В левом нижнем углу шахматной доски 8х8 стоит «Хромой король». За ход его можно подвинуть вправо или вверх на одну клетку. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет при правильной игре?

Решение.

Иногда хочется залезть в дебри и начать просчитывать количество вариантов. Все гораздо проще. Как бы наш король ни шёл, он сделает вверх 7 шагов и вправо 7 шагов. Итого 14 шагов. Раз число четное, то выиграет второй.

 

Задача 4.

Есть 3 кучи камней. В первой – 10, во второй – 15, в третьей – 20 штук. За один ход можно разбить любую кучу на две меньшие. Выигрывает сделавший последний ход.

Решение.

Рассмотрим абстрактную кучку из 5 штук..

Было             О О О О О  

1 ход             О О О / О О  

2 ход             О О / О / О О  

3 ход             О / О / О / О О  

4 ход             О / О / О / О / О    

 

 

Мы видим, что 5 камней – 4 хода. Иными словами, мы считаем промежутки между камнями.

 

Значит, что в нашей задаче 9 ходов для 1 кучи, 14 – для второй и 19 для третьей.

9 + 14 + 19 = 42

 

Можно было иначе. Всего 10 + 15 + 20 = 45. Но эти 45 штук уже разбиты на 3 кучи. Значит, было бы 44 хода, но 2 хода уже сделано. Остается 42.

 

Самостоятельная работа.

Во всех задачах нужно объяснить, КАК и ПОЧЕМУ!

1. Дан бумажный квадрат 6х6. За ход разрешается взять одну из имеющихся частей и разрезать на две части по линиям сетки. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет при правильной игре?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

 

2. Числа от 1 до 20 выписаны в строчку. Игроки по очереди расставляют между ними плюсы и минусы. После того, как все места заполнены, подсчитывается результат. Если он чётен, то выигрывает первый игрок, если нечётен, то второй.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

 

А если единиц 37? ___________________________________________________

 

3. Если 5 кучек конфет: 5, 6, 8, 9 и 10 штук соответственно. За один ход можно каждую кучку разбить на 2 меньшие. Выигрывает и забирает все конфеты тот, кто сделает последний ход.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________