Функция Гаусса и ее график. Работа с гистограммами – примеры их разных областей жизни

Закон больших чисел.

Уникальность и красота математики состоит в том, что очень многие физические явления реального мира, имеющие совершенно разную природу, могут быть описаны одними и теми же математическими объектами.

На физико-математических факультетах университетов в первом семестре изучают механические колебания. Они могут быть созданы пружинными или математическими маятниками. В следующем семестре рассматриваются темы, связанные со светом. Как известно, свет, с одной стороны, имеет корпускулярную природу, а с другой – волновую. Несмотря на то, что механические колебания и свет имеет принципиально разную природу и совершенно разные причины, оба эти явления задаются одним и тем же уравнением колебаний.

Более того, еще в эпоху древнейших цивилизаций ученые-математики делали поразительной точности вычисления. Древние египтяне и майя не имели полного представления о движении и положении небесных светим, не знали, по каким орбитам движутся планеты и как они расположены относительно Солнца. Им, как наблюдателям с Земли, было видно, что красная планета через определенные промежутки времени останавливается и начинает движение в обратную сторону. Сегодня нам известно, что планеты движутся не «туда-обратно», а по эллиптическим орбитам вокруг Солнца. Древнейшим математикам это было неизвестно. Тем не менее, это не помешало им с поразительной точностью вычислить год и день, когда Марс вновь изменит свою траекторию движения.

Как видите, успехи в математике иногда опережали реальные открытия. То же самое можно сказать и о теории относительности Эйнштейна. Еще никому из людей не приходилось летать со скоростью света, однако четко выверенные математические формулы и модели уже существуют.

Функция Гаусса и ее график. Работа с гистограммами – примеры их разных областей жизни.

Так и в теории вероятностей и математической статистике существуют свои универсальные модели, которые могут быть применимы для изучения самых различных явлений. К таковым относится, например, функция Гаусса. Эта функция введена немецким математиком К.-Ф. Гауссом (1777-1855).

Карл Фридрих Гаусс — немецкий математик, астроном, геодезист и физик. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры (доказательство основной теоремы алгебры), теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, теории электричества и магнетизма, геодезии и многих разделов астрономии.

Гауссова функция задается весьма сложной формулой

На интерактивную доску выводится изображение гауссовой кривой.

    Это «колоколообразная» кривая. Она имеет единственную точку максимума, симметрична относительно оси ординат, площадь под этой кривой равна единице. Она очень быстро асимптотически приближается к оси абсцисс:если оценить площадь под гауссовой кривой на отрезке [-3;3], то получится более 99% всей площади.

    Удивительно, что в формуле гауссовой функции одновременно присутствуют два замечательных иррациональных числа:  и , в первоначальных определениях которых, казалось бы, нет ничего общего. Число  возникло при нахождении длины окружностей и площади кругов, а число  появляется в связи с введением показательных и логарифмических функций. Оказывается, что эти столь различные числа вместе используются при описании многих статистических и вероятностных явлений.

    Гауссова кривая появляется при статистической обра­ботке данных. Как мы видели на предыдущих уроках, гистограммы (столбчатые диаграммы) рас­пределения большого объема информации незаменимы в случаях, когда ряд данных состоит из очень большого количества чисел. Если ширина вертикальных столбцов гистограммы доста­точно мала, а основания столбцов в объединении дают некоторый промежу­ток, то сама гистограмма похожа на график некоторой непрерывной функ­ции, заданной на этом промежутке. Иногда такую функцию называют выравнивающей функцией. Например, на рис. 1 представлена гистограм­ма роста женщин, построенная по выборке, в которой было 1375 женщин.

Приведем пример из военного дела. Производилось 500измерений боковой ошибки при стрельбе с самолета. На графике (рис. 2) по оси абс­цисс отложены величины ошибок («левее или правее» цели), а по оси ординат — частоты этих ошибок.

Приведем пример из биологии. Измерялся размер 12 000 бобов, и по оси абсцисс откладывались величины отклонений от среднего размера бо­бов, а по оси ординат — соответствующие частоты (рис. 3).

Примеры, как видите, взяты из совершенно различных областей, а графики функций, выравнивающих гистограммы, похожи друг на друга. Оказывается, что такому же закону подчиняется распределение и горо­шин по весу, и новорожденных младенцев по весу, и частиц газа по ско­рости движения, и множества других явлений окружающего нас мира. Подобно тому как графики всех парабол получаются с помощью линей­ных преобразований вдоль координатных осей из одной-единственной па­раболы у = х², все эти кривые распределения получаются из одной-един­ственной кривой, а именно из гауссовой кривой. Ее очень часто называ­ют также кривой нормального распределения.