2020-05-25
407
Алгоритм использования функции 
в приближенных вычислениях
Для вычисления вероятности 
следует:
1) проверить справедливость неравенства npq 
10;
2) вычислить 
по формуле 
3) по таблице значений гауссовой функции вычислить 
4) предыдущий результат разделить на 
Рассмотрим внимательнее неравенство npq 10. Так как 
, то 
и наибольшее значение этого квадратичного выражения (относительно 
) достигается при 
. Наибольшее значение равно 0,25. Значит,
Поэтому из условия 1) алгоритма следует, что 
. Это значит, что указанный алгоритм дает хорошую точность приближения, когда испытание с двумя исходами независимо повторяется как минимум несколько десятков раз. При меньшем числе повторений точность приближения резко ухудшается.
Задача.
Вероятность рождения мальчика примем равной 50%. Найти вероятность того, что среди 200 новорожденных будет 110 мальчиков.
Решение:
Будем действовать по предложенному алгоритму. В нашем случае п = 200, p = q = 0,5. Значит, npq = 50 > 10 и 
При этом число «успехов» 
равно 110.
Тогда:
Используя таблицы, вычисляем ответ:
Вероятность 
того, что число «успехов» 
в 
испытаниях Бернулли находится в пределах от 
до 
.
Вероятности 
, как правило, весьма малы. Это вполне объяснимо даже и без вычислений, на интуитивном уровне. Если монету бросить 1000 раз, то практически невероятно выпадение ровно 694 «орлов» или именно 427 «решек» и т. п. Поэтому при большом числе п в схеме Бернулли для числа k «успехов» устанавливают не одно точное значение, а некоторые рамки, в пределах которых разрешено меняться числу .Например, найти вероятность того, что в 1000 бросаниях монеты «орел» выпадет от 500 до 600 раз, или вероятность того, что среди 200 новорожденных будет от 70 до 110 мальчиков. Вероятность того, что число «успехов» в 
испытаниях Бернулли находится в пределах от 
до 
, обозначают так: 
.
Функция 
Ее геометрический смысл и график.
Для вычисления вероятностей снова используют гауссову функцию 
. Удобнее только ввести сначала некоторую дополнительную функцию Ф. Для этой функции также составлены таблицы значений, а связана она с 
следующим образом. Если аргумент х положителен, то Ф(х) равно площади под гауссовой кривой на отрезке от 0 до х. Более точно, 
Если х < 0, то Ф(х) = - Ф(х).
На интерактивную доску выводятся следующие графики.
Кроме того, из графиков видно, Ф(0) = 0. Значит, функция Ф нечетна, а ее график симметричен относительно начала координат. Ясно также, что эта функция возрастает на всей прямой. График функции 
изображен на рисунке ниже.
На интерактивную доску выводятся график.
Алгоритм использования функции 
в приближенных вычислениях. Задача.
Алгоритм решения задач на нахождение аналогичен уже рассмотренному для 
.
Алгоритм использования функции в приближенных вычислениях
Для вычисления вероятности следует:
1) проверить справедливость неравенства npq 
10;
2) вычислить 
и 
по формулам
3) по таблице вычислить значения 
и 
4) найти разность 
Задача.
Политика П. поддерживает в среднем 40% населения. Какова вероятность того, что из 1500 случайно опрошенных людей политика П. поддерживают от 570 до 630 человек?
Решение.
Считаем, что опрос 1500 человек происходит независимо и что вероятность поддержки политика П. отдельным респондентом, т. е. вероятность «успеха», равна 0,4. Тогда
и 
Значит, мы имеем дело с частным случаем схемы Бернулли, в которой число «успехов» находится в пределах от 570 до 630.
Поэтому 
Закон больших чисел.
Для каждого положительного числа 
при неограниченном увеличении числа независимых повторений испытания с двумя исходами вероятность того, что частота 
появления «успеха» отличается менее чем на от вероятности 
«успеха» в одном отдельном испытании, стремится к единице.
В частности, если нам неизвестна вероятность случайного события А, которое может происходить или не происходить в результате некоторого испытания, то мы можем многократно повторять это испытание и вычислять частоту наступления этого события А. При большом числе повторений практически несомненно, что таким образом найденная частота приблизительно будет равна вероятности Р(А) этого случайного события.
