Задачи для самостоятельного решения

Определение числовой окружности на координатной плоскости

Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок. Начальная точка числовой окружности A совмещена с точкой (1;0).

Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты х и у, причем:
1) при x>0, у>0 – в первой четверти;
2) при х<0, у>0 – во второй четверти;
3) при х<0, у<0 – в третьей четверти;
4) при х>0, у<0 – в четвертой четверти.

Для любой точки М(х;у) числовой окружности выполняются неравенства: −1<x<1; −1<у<1.

Запомните уравнение числовой окружности: x2+y2=1.

Нам важно научиться находить координаты точек числовой окружности, представленных на рисунке.

Найдем координату точки π4

Точка М(π4) – середина первой четверти. Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую ОА и рассмотрим треугольник OMP.Так как дуга АМ составляет половину дуги АВ, то ∠MOP=45°.
Значит, треугольник OMP – равнобедренный прямоугольный треугольник и OP=MP, т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: x=y.
Так как координаты точки M(х;y) удовлетворяют уравнению числовой окружности, то для их нахождения нужно решить систему уравнений:
{x2+y2=1,x=y.
Решив данную систему, получаем: y=x=√22.
Значит, координаты точки M, соответствующей числу π4, будут M(π4)=M(√22;√22).
Аналогичным образом рассчитываются координаты точек, представленных на предыдущем рисунке.

 

Координаты точек числовой окружности

Рассмотрим примеры

Пример 1.
Найти координату точки числовой окружности: Р(45π4).

Решение:
Т.к. числам t и t+2π∗k, где k-целое число, соответствует одна и та же точка числовой окружности то:
45π4=(10+54)∗π=10π+5π4=5π4+2π∗5.
Значит, числу 45π4 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу 5π4. Посмотрев значение точки 5π4 в таблице, получаем: P(45π4)=P(−√22;−√22).

Пример 2.
Найти координату точки числовой окружности: Р(−37π3).

Решение:

Т.к. числам t и t+2π∗k, где k-целое число, соответствует одна и та же точка числовой окружности то:
−37π3=−(12+13)∗π=−12π–π3=−π3+2π∗(−6).
Значит, числу −37π3 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу –π3, а числу –π3 соответствует та же точка, что и 5π3. Посмотрев значение точки 5π3 в таблице, получаем:
P(−37π3)=P(12;−√32).

Пример 3.
Найти на числовой окружности точки с ординатой у=12 и записать, каким числам t они соответствуют?

Решение:
Прямая у=12 пересекает числовую окружность в точках М и Р. Точка М соответствует числу π6 (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида: π6+2π∗k. Точка Р соответствует числу 5π6, а значит, и любому числу вида 5π6+2π∗k.
Получили, как часто говорят в таких случаях, две серии значений:
π6+2π∗k и 5π6+2π∗k.
Ответ: t=π6+2π∗k и t=5π6+2π∗k.

Пример 4.
Найти на числовой окружности точки с абсциссой x≥−√22 и записать, каким числам t они соответствуют.

Решение:

Прямая x=−√22 пересекает числовую окружность в точках М и Р. Неравенству x≥−√22 соответствуют точки дуги РМ. Точка М соответствует числу

3π4 (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида −3π4+2π∗k. Точка Р соответствует числу −3π4, а значит, и любому числу вида −3π4+2π∗k.

Тогда получим −3π4+2π∗k≤t≤3π4+2πk.

Ответ: −3π4+2π∗k≤t≤3π4+2πk.

 

Задачи для самостоятельного решения

1) Найти координату точки числовой окружности: Р(61π6).
2) Найти координату точки числовой окружности: Р(−52π3).
3) Найти на числовой окружности точки с ординатой у=−12 и записать, каким числам t они соответствуют.
4) Найти на числовой окружности точки с ординатой у≥−12 и записать, каким числам t они соответствуют.
5) Найти на числовой окружности точки с абсциссой x≥−√32 и записать, каким числам t они соответствуют.

 

Ответы можете присылать мне в личных сообщениях в вК или на электронную почту IngaGM@rambler.ru,

Подписывайте номер группы и свою фамилию и имя