Свободные затухающие механические колебания

Закон затухающих колебаний имеет вид: .

Основными характеристиками затухающих колебаний являются коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность колебательной системы.

Потенциальная и кинетическая энергия затухающих колебаний с течением времени уменьшается, переходя в тепловую энергию.

П р и м е р 13. Гиря массой 680 г подвешена на пружине жесткостью 16,3 Н/м. За 24 полных колебания их амплитуда уменьшилась в 1,44 раза. Определить коэффициент затухания, циклическую частоту затухающих колебаний и добротность маятника.

Дано: кг; .	Р е ш е н и е. Амплитуда затухающих колебаний с течением
Н/м; Найти: ; ;	времени убывает по закону: . (4.1) Время полных колебаний (4.2) где – время одного колебания, т. е. период затухающих колебаний, связанный с их циклической частотой

(4.3)

соотношением:

; (4.4)

с^-1 – (4.5)

собственная частота колебаний пружинного маятника.

Следовательно, согласно закону (4.1) и равенству (4.2) в момент времени амплитуда колебаний Отсюда

(4.6)

Соотношения (4.3), (4.5) и (4.6) представляют собой систему трех уравнений с тремя неизвестными: , , Возводя обе части выражения (4.6) в квадрат и подставляя в полученное равенство формулы (4.3) и (4.4), получим:

(4.7)

Отсюда выразим :

(4.8)

(4.9)

Следовательно, выполнено условие малости затухания и добротность системы можно найти по формуле с учетом выражения (4.7):

. (4.10)

Подстановка значения (4.5) в формулы (4.3) и (4.9) позволяет с учетом малости найти соответственно численные значения и :

с^-1; с^-1.

О т в е т: с^-1;

с^-1;

П р и м е р 14. Энергия затухающих колебаний осциллятора, происходящих в вязкой среде с малым затуханием, за 5 мин уменьшилась в 37 раз. Определить коэффициент сопротивления среды, если масса осциллятора равна 120 г.

Дано:

с;

кг. Найти:

Р е ш е н и е. Коэффициент сопротивления среды связан с коэффициентом затухания колебаний

и массой осциллятора:

(4.11)

Для определения воспользуемся выражением для расчета средней за период полной энергии затухающих колебаний:

(4.12)

Отсюда для интересующего момента времени получим: и выразим :

(4.13)

Объединив формулы (4.11) и (4.13), получим:

. (4.14)

Подстановка численных данных в выражение (4.14) приводит к следующему результату: .

О т в е т: , .

5. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
В РЕАЛЬНОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

В реальном колебательном контуре с активным сопротивлением колебания заряда являются затухающими: , где – частота свободных затухающих колебаний; – коэффициент затухания.

П р и м е р 15. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 0,8 мкФ, катушки индуктивностью 1,25 мГн и сопротивления. Найти: 1) сопротивление контура, при котором за 14 мс амплитуда колебаний заряда на обк- ладках конденсатора уменьшается в 1,7 раза; 2) логарифмический декремент затухания.

Дано:

Ф;

Гн;

с;

Найти:

;

Р е ш е н и е. Сопротивление связано с коэффициентом затухания колебаний

и индуктивностью контура:

(5.1)

Для определения воспользуемся выражением

(5.2)

для расчета амплитуды затухающих колебаний. Отсюда для интересующего момента времени получим: и выразим :

(5.3)

Объединив формулы (5.1) и (5.3), получим:

(5.4)

Подстановка численных данных приводит к следующему результату:

Логарифмический декремент затухания

(5.5)

где – период затухающих колебаний, связанный с их циклической частотой

(5.6)

соотношением:

; (5.7)

- (5.8)

собственная частота колебаний в контуре.

Для того чтобы найти приравняем друг к другу квадраты периода и полученные из формул (5.5) и (5.7):

(5.9)

а затем в выражение (5.9) подставим формулы для частот (5.6) и (5.8): . Отсюда, учитывая равенство (5.3), выразим :

(5.10)

Подставив в формулу (5.10) данные задачи, получим:

О т в е т: , ; .

П р и м е р 16. В реальном колебательном контуре напряжение на обкладках конденсатора меняется по закону: где ; с^-1; с^-1; . Найти: 1) период собственных колебаний в контуре, если его индуктивность равна 0,85 Гн; 2) энергию электрического поля спустя время, равное 1/6 периода от начала затухающих колебаний.