Объяснение нового материала

Откройте тетрадь, запишите число и тему урока

ВСПОМНИТЕ:

1. Признак делимости на 2, 5, 3, 9, 10.

2. Конечную десятичную дробь записали в виде обыкновенной дроби. Может ли знаменатель этой дроби иметь простые делители, отличные от 2 и 5?

3. Какие делители должен иметь знаменатель обыкновенной несократимой дроби, чтобы она разлагалась в конечную десятичную дробь? Приведите примеры.

4. Какими способами можно разложить обыкновенную дробь в десятичную? Приведите примеры.

Объяснение нового материала.

Итак, мы знаем, что если знаменатель несократимой дроби имеет простой делитель, отличный от 2 и 5, то эта дробь не разлагается в конечную десятичную дробь. Поэтому при делении числителя этой дроби на знаменатель уголком не может получиться конечная десятичная дробь.

Определение. Бесконечные десятичные дроби, в которых одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называются периодическими десятичными дробями. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби.

Пример 1.

1)Разложите в десятичную дробь число: .

1. Сократима ли дробь?

2. Смотрим на знаменатель несократимой дроби, он имеет простой делитель 3, отличный от 2 и 5, то эта дробь заведомо не разлагается в конечную десятичную дробь.

3. Разделим числитель на знаменатель уголком.

4. На каждом этапе вычисления получается один и тот же остаток 2. Процесс этот бесконечен. Он приводит к выражению 0,666..., где точки означают, что цифра 6 повторяется бесконечно много раз.

Читают: «нуль целых и шесть в периоде». Цифру 6 называют периодом дроби .

Говорят, что число представлено в виде периодической дроби .

2) Разложите в десятичную дробь число .

1. Сократима ли дробь?

2. Смотрим на знаменатель несократимой дроби, он имеет простой делитель 3 и 11, отличный от 2 и 5, то эта дробь заведомо не разлагается в конечную десятичную дробь.

3. Разделим числитель на знаменатель уголком.

4. На каждом этапе вычисления получается один и тот же остаток 20. Процесс этот бесконечен. Он приводит к выражению 0,0202..., где точки означают, что цифры 0 2 повторяются бесконечно много раз.

Читают: «нуль целых и нуль два в периоде». Цифры 0 2 называют периодом дроби .

Говорят, что число представлено в виде периодической дроби .

3) Разложите в десятичную дробь число .

1. Сократима ли дробь?

3. Разделим числитель на знаменатель уголком.

4. На каждом этапе вычисления получается один и тот же остаток 35. Процесс этот бесконечен. Он приводит к выражению 3,177..., где точки означают, что цифра 7 повторяется бесконечно много раз.

Читают: «три целых, одна десятая, и семь в периоде». Цифра 7 называет периодом дроби .

Говорят, что число представлено в виде периодической дроби .

Вообще, если числитель положительной несократимой дроби разделить на её знаменатель уголком, то в частном получится, либо конечное, либо бесконечное периодическое её десятичное разложение.

Поставим перед положительной дробью знак «–», получим отрицательную периодическую дробь.

Пример 2. Разложите в десятичную дробь число:

1) ;

2) ;

3) .

Приписывая к целому числу (после запятой) или к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы превращаем её в равную ей бесконеч-ную периодическую десятичную дробь с периодом 0.

Пример 3. Разложите в десятичную дробь число:

1) ;