Концептуальная модель

ЛЕКЦИЯ 10

ТЕМА: ЗАДАЧА БАСКЕТБОЛИСТА

 

Рассмотрим пример математического моделирования биомеханического процесса (системы).

Первым этапом моделирования является создание когнитивной модели исследуемого объекта (процесса). Когнитивная модель представляет собой некий мысленный образ объекта, его идеальную модель, способствующую познанию объекта. Формируя такую модель, исследователь, как правило, стремится ответить на конкретные вопросы, поэтому от бесконечно сложного устройства объекта отсекается все ненужное (с точки зрения исследователя) с целью получения его более компактного и лаконичного описания.

 

Когнитивная модель

Целью игрока в баскетбол является забрасывание мяча в корзину противника (или предотвращение такого действия со стороны противника).

Результативность броска мяча в корзину зависит от множества факторов: роста баскетболиста, его расположения у кольца в момент броска мяча, расстояния баскетболиста от кольца, силы броска, массы мяча, угла броска, техники броска (с вращение или без него), наличия помех (толчка в момент броска, ветра), угла удара мяча о кольцо или щит и др. В связи с этим возникает вопрос: как надо бросить мяч из заданного положения, чтобы он гарантированно попал в кольцо.

Здесь описана когнитивная модель броска мяча в корзину. В частности, указана цель, которую преследует баскетболист и факторы, влияющие на результат броска (достижение цели).

Содержательная модель

Представление когнитивной модели на естественном языке называется содержательной моделью(содержательной постановкой задачи).

Содержательная постановка задачи баскетболиста выглядит следующим образом. Разработать математическую модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную корзину.

Модель должна позволять:

• вычислять положение мяча в любой момент времени;

• определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах;

• ответить на вопрос, поставленный в когнитивной модели.

Исходные данные:

• масса и радиус мяча;

• начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча;

• координаты центра и радиус корзины.

В данной постановке мы не учитываем технику броска мяча и возможные помехи при броске.

Концептуальная модель

На основании содержательной модели разрабатывается концептуальная, или «естественно-научная» (в нашем случае физическая) постановка задачи моделирования, служащая основой для концептуальной модели процесса (объекта).

Концептуальная постановка задачи моделирования — это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, биологии и т.д.) перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования.

Концептуальная постановка задачи баскетболиста. Движение баскетбольного мяча может быть описано в соответствии с законами классической механики Ньютона. Примем следующие гипотезы:

• объектом моделирования является баскетбольный мяч радиуса R;

• мяч будем считать материальной точкой массы т, положение которой совпадает с центром масс мяча;

• движение происходит в поле силы тяжести с постоянным ускорением свободного падения g и описывается уравнениями классической механики Ньютона;

• движение мяча происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхности Земли и проходящей через точку броска и центр кор­зины (плоское движение);

• пренебрегаем сопротивлением воздуха и возмущениями, вызванны­ми собственным вращением мяча вокруг центра масс.

В соответствии с изложенными гипотезами в качестве парамет­ров движения мяча можно использовать координаты (х и у)и ско­рость (ее проекции и ) центра масс мяча. Тогда для определения положения мяча в любой момент времени достаточно найти закон движения центра масс мяча, т.е. зависимость координат х, у и проек­ций вектора скорости и центра мяча от времени. Центр масс мяча, вследствие его сферической симметрии, совпадает с его геометрическим центром. В качестве оценки точности броска можно рассматривать величину расстоя­ния по горизонтали (вдоль оси х)от це центра корзины до центра мяча в момент, когда последний пересекает горизонтальную плоскость, проходящую через плоскость кольца корзины.

С учетом выше изложенного, можно сформулировать концептуаль­ную постановку задачи баскетболистав следующем виде: опреде­лить закон движения материальной точки массой т под действием силы тяжести, если известны начальные координаты точки x₀и у₀,ее начальная скорость v₀ и угол бросания a₀. Центр корзины имеет ко­ординаты и .Вычислить точность броска , где t_к определяется из условий: t_к> 0, v_yк<0, y(t_к)=y_к (индекс к от слова корзина). Последнее означает, что до кольца мяч должен долететь за конечное время, в плоскости кольца корзины центр масс мяча должен иметь отрицательную вертикальную компоненту скорости и вертикальную координату, совпадающую с вертикальной координатой центра кольца.

Рассмотрим особенности приведенной в примере концептуаль­ной постановки задачи баскетболиста. Первая из перечисленных гипотез особенно важна, так как она выделяет объект моделирования. В данном случае объект можно считать простым. Однако в качестве объекта моделирования можно рассматривать систему «игрок - мяч - кольцо». Требуемая для описания подобной системы модель будет уже намного сложнее, так как игрок: в свою очередь представляет сложную биомеханическую систему и его моделирование является далеко не тривиальной задачей. В данной ситуации выбор в качестве объекта моделирования только мяча обоснован, поскольку именно его движение требуется исследовать, а влияние игрока можно учесть достаточно просто через начальные параметры броска. Для сложных систем выбор объекта моделирования - далеко не простая и неоднозначная задача.

Гипотеза о том, что мяч можно считать материальной точкой, широко применяется для исследования движений тел в механике. В рассматриваемом случае она оправдана в силу симметрии формы мяча и малости его радиуса по сравнению с характерными расстояниями перемещения мяча. Предполагается, что последний является шаром с одинаковой толщиной стенки.

Гипотезу о применимости в данном случае законов классической механики можно обосновать огромным экспериментальным материалом, связанным с изучением движения тел вблизи поверхности Земли со скоростями много меньше скорости света. Учитывая, что высота полета мяча лежит в пределах 5-10 м, а дальность - 5-20 м, предположение о постоянстве ускорения свободного падения также представляется обоснованным. Если бы моделировалось движение баллистической ракеты при дальности и высоте полета более 100 км, то пришлось бы учитывать изменение ускорения свободного падения в зависимости от высоты и широты места.

Гипотеза о движении мяча в плоскости перпендикулярной поверхности Земли, ограничивает класс рассматриваемых траекторий и значительно упрощает модель. Траектория мяча может не лежать в одной плоскости, если при броске он сильно подкручивается вокруг вертикальной оси. В этом случае скорости точек поверхности мяча относительно воздуха на различных сторонах мяча будут различны. Для точек, движущихся навстречу потоку, относительная скорость выше, а для точек противоположной стороны, движущихся по потоку, — ниже скорости центра масс мяча. В соответствии с законом Бернулли, давление газа на поверхность больше там, где его относительная скорость меньше. Поэтому на мяч будет действовать дополнительная сила, направленная сверху вниз или снизу вверх, в зависимости от направления вращения мяча. Этот эффект будет проявляться тем больше, чем больше скорость центра масс мяча и скорость его вращения. Для баскетбола характерны относительно низкие скорости полета мяча (до 10 м/с). При этом довольно редко используется подкрутка мяча рукой. Поэтому гипотеза о движении мяча в одной плоскости кажется оправданной. Ее использование позволяет отказаться от построения значительно более сложной трехмерной модели движения мяча.

Гипотеза об отсутствии влияния сопротивления воздуха наименее обоснована. При движении тела в газе или жидкости сила сопротивления увеличивается с ростом скорости движения. Учитывая невысокие скорости движения мяча, его правильную обтекаемую форму и малые дальности бросков, указанная гипотеза может быть принята в качестве первого приближения.

Следует отметить, что концептуальная постановка задачи моделирования в отличие от содержательной постановки, использует терминологию конкретной научной дисциплины (в рассматриваемом случае –динамики, как раздела механики). При этом моделируемый реальный объект (мяч) заменяется его механической моделью (материальной точкой). Фактически в приведенном примере концептуальная постановка свелась к постановке классической задачи механики о движении материальной точки в поле сил тяжести. Концептуальная постановка более абстрактна по отношению к содержательной, так как материальной точке можно сопоставить произвольный материальный объект, брошенный под углом к горизонту: футбольный мяч, ядро, камень или артиллерийский снаряд.