Условимся называть относительной расстройкой частоты по отношению к резонансной частоте контура величину
(4)
Сопротивление контура согласно (1) и с учетом (3)
откуда, используя (4), или получаем:
(5)
Следовательно, полное сопротивление и фазовый угол цепи
(6)
Ток в цепи
(7)
На рис. 2 приведены зависимости от частоты сопротивления и сдвига фаз между напряжением и током. Кривые даны в относительных значениях: по оси абсцисс отложена относительная расстройка частоты , а по оси ординат – отношение полного сопротивления z к активному сопротивлению r, рис. 2 а, и угол , рис. 2 б.
Рис. 2. Частотные зависимости сопротивления (а) и угла (б).
Полное сопротивление цепи минимально при резонансе напряжений; при этом ток в цепи достигает своего максимального значения
|
|
На рис. 3 изображены резонансные кривые тока в относительных значениях: по оси абсцисс, как и на предыдущих графиках, отложены значения , по оси ординат – отношения токов к максимальному току при резонансе:
(8)
Рис. 3. Резонансные кривые тока в относительных единицах.
Чем выше добротность цепи Q, тем острее резонансные кривые. Таким образом, величина Q характеризует остроту резонансной кривой («остроту настройки»).
Полосу частот вблизи резонанса, на границах которой ток снижается до максимального (резонансного) значения , принято называть полосой пропускания резонансного контура. При токе мощность, расходуемая в сопротивлении r, равна:
т.е. составляет половину мощности, расходуемой при резонансе. Поэтому полосу пропускания характеризуют как полосу, границы которой соответствуют половине максимальной мощности. На границах полосы пропускания резонансного контура активное и реактивное сопротивления равны Фазовый сдвиг между напряжением на выводах цепи и током составляет 45°; на нижней границе комплексное сопротивление цепи имеет емкостный характер (ток опережает напряжение) и на верхней границе комплексное сопротивление цепи имеет индуктивный характер (ток отстает от напряжения) и
На основании (8) условие для границы полосы пропускания записывается в следующем виде:
(9)
(знак минус перед корнем, получающийся в результате решения квадратного уравнения, опускается, как не имеющий смысла). Индексы 1 и 2 и соответственно знаки минус и плюс в выражении (9) относятся к границам ниже и выше резонанса.
|
|
По определению полоса пропускания резонансного контура находится из условия
(10)
В условиях, близких к резонансу, напряжения на индуктивности и емкости могут быть весьма велики, что необходимо учитывать во избежание повреждения изоляции.
На рис. 4 показана векторная диаграмма тока и напряжений при резонансе. Напряжения на реактивных элементах при резонансе определяются из выражения
(11)
Последняя формула показывает, что добротность рассматриваемой цепи определяется как кратность перенапряжения на L и С при резонансной частоте.
Рис. 4. Векторная диаграмма при резонансе напряжений.
При Q > 1 эти напряжения превышают напряжение U, приложенное к резонансному контуру. Однако значения, получаемые на основании (11), не являются максимальными: максимум напряжения располагается несколько выше (правее), а максимум - ниже (левее) резонансной частоты, рис. 5.
Рис. 5. Частотные зависимости напряжений на индуктивности и емкости
в относительных единицах.